Bài tập Dạng toán tìm số lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Hai người thợ làm chung trong 40 ngày nên trong một ngày, cả hai người làm chung được $\frac{1}{{40}}$ (công việc). Vậy một ngày, cả hai người làm được $\frac{1}{{40}}$ công việc.

b) Đúng.

Trong một ngày, người thứ nhất làm riêng được $\frac{1}{{\rm{x}}}$ (công việc).

Trong một ngày, người thứ hai làm riêng được $\frac{1}{{\rm{y}}}$ (công việc).

Ta có phương trình: $\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{40}}$ (1).

c) Sai.

Vì hai người làm chung trong 20 ngày, người thứ nhất không làm nữa và người thứ hai tiếp tục công việc thì sau 30 ngày nữa mới xong nên ta có: $\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{20}}{{\rm{y}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1$ hay $\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{50}}{{\rm{y}}} = 1$ (2). Do đó, c) sai.

d) Sai.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{40}}\\\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{50}}{{\rm{y}}} = 1\end{array} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có: $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{{40}} - \frac{1}{{\rm{y}}}$.

Thay $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{{40}} - \frac{1}{{\rm{y}}}$ vào phương trình thứ hai của hệ ta có: $20\left( {\frac{1}{{40}} - \frac{1}{{\rm{y}}}} \right) + \frac{{50}}{{\rm{y}}} = 1$ nên $\frac{{30}}{{\rm{y}}} = \frac{1}{2}$ nên y = 60 (thỏa mãn).

Với y = 60 thì $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{{40}} - \frac{1}{{{\rm{60}}}} = \frac{1}{{120}}$ nên x = 120 (thỏa mãn).

Vậy khi làm riêng, thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc lâu hơn người thứ hai là 60 ngày.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai.

Hai đội làm chung trong 16 ngày nên hai đội làm chung được $\frac{{16}}{{24}} = \frac{2}{3}$ (công việc).

Đội II phải hoàn thành một mình $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (công việc).

Vậy đội II phải hoàn thành một mình là $\frac{1}{3}$ phần công việc.

b) Đúng.

Trong một ngày, đội I làm riêng được $\frac{1}{{\rm{x}}}$ (công việc).

Trong một ngày, đội II làm riêng được $\frac{1}{{\rm{y}}}$ (công việc).

Trong một ngày, cả hai đội làm được $1:24 = \frac{1}{{24}}$ (công việc).

Ta có phương trình: $\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{24}}$ (1).

c) Sai.

Vì khi làm việc một mình, đội II tăng năng suất gấp đôi nên và đội II đã hoàn thành nốt công việc đó trong 7 ngày nên ta có: $7 \cdot \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{1}{3}$ hay $\frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{42}}$. Do đó, c) sai.

d) Sai.

Theo c) ta có: $\frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{42}}$ nên y = 42 (thỏa mãn).

Thay y = 42 vào $\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{24}}$ ta có: $\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{{\rm{42}}}} = \frac{1}{{24}}$ nên x = 56 (thỏa mãn).

Vậy thời gian đội I một mình hoàn thành công việc là 56 ngày.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Trong một giờ, vòi I chảy riêng được $\frac{1}{{\rm{x}}}$ (bể).

Trong một giờ, vòi II chảy riêng được $\frac{1}{{\rm{y}}}$ (bể).

b) Sai.

Vì vòi I chảy trong 2 giờ và vòi II chảy trong 2 giờ thì đầy bể nước nên $\frac{2}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1$ (1).

c) Đúng.

Vì vòi I chảy trong 1 giờ và vòi II chảy trong 2 giờ thì chảy được $\frac{2}{3}$ bể nước nên $\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}$ (2).

d) Đúng.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\\\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}\end{array} \right.$.

Trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai trong hệ ta có $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{3}$ nên x = 3 (thỏa mãn)

Với x = 3 thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có $\frac{1}{{\rm{3}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}$ nên y = 6 (thỏa mãn).

Vậy nếu mỗi vòi chảy riêng thì thời gian vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 3 giờ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Trong một giờ, người thợ thứ nhất làm riêng được $\frac{1}{{\rm{x}}}$ (công việc).

Trong một giờ, người thợ thứ hai làm riêng được $\frac{1}{{\rm{y}}}$ (công việc).

b) Đúng.

Vì trong một giờ, người thợ thứ nhất làm bằng $\frac{2}{3}$ người thứ hai nên ta có $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}$ (1).

c) Sai.

Vì người thợ thứ nhất làm 10 phút $= \frac{1}{6}$ giờ và người thợ thứ hai làm trong 15 phút $= \frac{1}{4}$ giờ thì được $\frac{1}{6}$ công việc nên $\frac{1}{{{\rm{6x}}}} + \frac{1}{{{\rm{4y}}}} = \frac{1}{6}$ (2).

d) Đúng.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}\\\frac{1}{{{\rm{6x}}}} + \frac{1}{{{\rm{4y}}}} = \frac{1}{6}\end{array} \right.$.

Thay $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}$ vào phương trình thứ hai của hệ ta có: $\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{{{\rm{3y}}}} + \frac{1}{{{\rm{4y}}}} = \frac{1}{6}$ nên $\frac{{13}}{{{\rm{36y}}}} = \frac{1}{6}$ nên y = $\frac{{13}}{6}$ (thỏa mãn).

Với y = $\frac{{13}}{6}$ thì $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{3 \cdot \frac{{13}}{6}}} = \frac{4}{{13}}$ nên x = $\frac{{13}}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy thời gian người thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là $\frac{{13}}{4}$ giờ (< 4 giờ).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai d) Sai.

a) Đúng.

Trong một giờ, người thứ nhất làm riêng được $\frac{1}{{\rm{x}}}$ (công việc).

Trong một giờ, người thứ hai làm riêng được $\frac{1}{{\rm{y}}}$ (công việc).

b) Đúng.

Vì trong một giờ, người thợ thứ nhất làm được gấp đôi người thợ thứ hai: $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}$ (1).

c) Sai.

Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 4 giờ thì làm được $\frac{5}{9}$ công việc nên $\frac{3}{{\rm{x}}} + \frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}$ (2).

d) Sai.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\\\frac{3}{{\rm{x}}} + \frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\end{array} \right.$.

Thay $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}$ vào phương trình thứ hai trong hệ ta có $3 \cdot \frac{2}{{\rm{y}}} + \frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}$ nên $\frac{{10}}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}$ nên y = 18 (thỏa mãn).

Với y = 18 thì $\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{18}}}}$ nên x = 9 (thỏa mãn).

Trong một giờ, cả hai người thợ làm được: $\frac{1}{9} + \frac{1}{{18}} = \frac{1}{6}$ (giờ).

Vậy cả hai người thợ cùng làm với nhau thì sau 6 giờ hoàn thành công việc.