Bài tập Dạng toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì chiều rộng thửa ruộng ngắn hơn chiều dài nên ta có:$y - x = 45$.

b) Sai.

Chu vi thửa ruộng ban đầu là: $2\left( {x + y} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Chu vi thửa ruộng khi chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần là: $2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vì nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình $2\left( {x + y} \right) = 2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,$ hay $2x - \frac{y}{2} = 0$.

Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.$.

c) Đúng.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.$, ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\4x - y = 0\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\3x = 45\end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 30\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

d) Đúng.

Diện tích của thửa ruộng là: $15 \cdot 30 = 450\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Số cây có thể trồng trên mảnh vườn ban đầu là xy (cây).

b) Đúng.

Nếu tăng thêm 8 luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì phương trình biểu diễn tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) = xy – 54.

c) Sai.

Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì tổng số cây trong vườn sẽ tăng thêm 32 cây nên ta có (x – 4)(y + 2) = xy + 32.

Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 54\\\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 32\end{array} \right.$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y = - 30\\2x - 4y = 40\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, được x = 50 và y = 15 (thỏa mãn).

d) Sai.

Vậy ban đầu mỗi luống có 50 cây và có 15 luống.

Vậy số cây cà chua ban đầu trên mảnh vườn là: 50.15 = 750 (cây).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Diện tích ban đầu của thửa ruộng là: xy (m$^{2}$).

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi tăng chiều dài 2 m và chiều rộng thêm 3 m là (x + 2)(y + 3) = xy + 100.

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi giảm chiều dài 2 m và chiều rộng 2 m là (x – 2)(y – 2) = xy – 68.

Từ đây, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.$.

d) Sai.

Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 94\\ - 2x - 2y = - 72\end{array} \right.$$

Cộng theo vế hai phương trình được x = 22 (thỏa mãn) và y = 14 (thỏa mãn).

Vậy diện tích của thửa ruộng ban đầu là: 22.14 = 308 (m$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Vì chu vi của mảnh đất bằng 80 m nên 2(a + b) = 80 hay a + b = 40 (m).

b) Đúng.

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật khi tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 5 m là:

(a + 3)(b + 5) (m$^{2}$).

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của mảnh đất sau khi tăng chiều dài chiều rộng là:

(a + 3)(b + 5) = ab + 195

Từ đây ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right) = ab + 195\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, có: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3a + 3b = 120\\5a + 3b = 180\end{array} \right.$.

Trừ theo vế hai phương trình được 2a = 60 nên a = 30 (thỏa mãn).

Với a = 30 thì b = 10 (thỏa mãn).

d) Sai.

Diện tích mới của mảnh đất sau khi tăng chiều dài, chiều rộng là:

30.10 + 195 = 495 (m$^{2}$)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Diện tích ban đầu của tam giác đó là S = $\frac{1}{2}xy$ (cm$^{2}$).

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi tăng mỗi cạnh góc

vuông lên 2 cm là $\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17$ hay (x + 2)(y + 2) = xy + 34.

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi giảm độ dài một cạnh góc vuông 3 cm và một cạnh giảm 1 cm là: $\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11$.

Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.$.

d) Đúng.

Giải hệ phương trình, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\ - x - 3y = - 25\end{array} \right.$.

Thực hiện cộng theo vế hai phương trình ta được −2y = −10 nên y = 5.

Thay y = 5 được x = 10 (thỏa mãn).

Vậy diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là: $\frac{1}{2}.5.10 = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.

Do đó, diện tích ban đầu của tam giác vuông có giá trị là một số chính phương.