Bài tập Dạng toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì chiều rộng thửa ruộng ngắn hơn chiều dài nên ta có:$y - x = 45$.

b) Sai.

Chu vi thửa ruộng ban đầu là: $2\left( {x + y} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Chu vi thửa ruộng khi chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần là: $2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vì nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình $2\left( {x + y} \right) = 2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,$ hay $2x - \frac{y}{2} = 0$.

Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.$.

c) Đúng.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.$, ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\4x - y = 0\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\3x = 45\end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 30\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

d) Đúng.

Diện tích của thửa ruộng là: $15 \cdot 30 = 450\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Số cây có thể trồng trên mảnh vườn ban đầu là xy (cây).

b) Đúng.

Nếu tăng thêm 8 luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì phương trình biểu diễn tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) = xy – 54.

c) Sai.

Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì tổng số cây trong vườn sẽ tăng thêm 32 cây nên ta có (x – 4)(y + 2) = xy + 32.

Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 54\\\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 32\end{array} \right.$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y = - 30\\2x - 4y = 40\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, được x = 50 và y = 15 (thỏa mãn).

d) Sai.

Vậy ban đầu mỗi luống có 50 cây và có 15 luống.

Vậy số cây cà chua ban đầu trên mảnh vườn là: 50.15 = 750 (cây).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Diện tích ban đầu của thửa ruộng là: xy (m$^{2}$).

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi tăng chiều dài 2 m và chiều rộng thêm 3 m là (x + 2)(y + 3) = xy + 100.

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi giảm chiều dài 2 m và chiều rộng 2 m là (x – 2)(y – 2) = xy – 68.

Từ đây, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.$.

d) Sai.

Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 94\\ - 2x - 2y = - 72\end{array} \right.$$

Cộng theo vế hai phương trình được x = 22 (thỏa mãn) và y = 14 (thỏa mãn).

Vậy diện tích của thửa ruộng ban đầu là: 22.14 = 308 (m$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Vì chu vi của mảnh đất bằng 80 m nên 2(a + b) = 80 hay a + b = 40 (m).

b) Đúng.

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật khi tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 5 m là:

(a + 3)(b + 5) (m$^{2}$).

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của mảnh đất sau khi tăng chiều dài chiều rộng là:

(a + 3)(b + 5) = ab + 195

Từ đây ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right) = ab + 195\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, có: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3a + 3b = 120\\5a + 3b = 180\end{array} \right.$.

Trừ theo vế hai phương trình được 2a = 60 nên a = 30 (thỏa mãn).

Với a = 30 thì b = 10 (thỏa mãn).

d) Sai.

Diện tích mới của mảnh đất sau khi tăng chiều dài, chiều rộng là:

30.10 + 195 = 495 (m$^{2}$)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Diện tích ban đầu của tam giác đó là S = $\frac{1}{2}xy$ (cm$^{2}$).

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi tăng mỗi cạnh góc

vuông lên 2 cm là $\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17$ hay (x + 2)(y + 2) = xy + 34.

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi giảm độ dài một cạnh góc vuông 3 cm và một cạnh giảm 1 cm là: $\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11$.

Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.$.

d) Đúng.

Giải hệ phương trình, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\ - x - 3y = - 25\end{array} \right.$.

Thực hiện cộng theo vế hai phương trình ta được −2y = −10 nên y = 5.

Thay y = 5 được x = 10 (thỏa mãn).

Vậy diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là: $\frac{1}{2}.5.10 = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.

Do đó, diện tích ban đầu của tam giác vuông có giá trị là một số chính phương.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Gọi chiều dài, chiều rộng của khu đất lần lượt là $x$ (m), $y$ (m).

Điều kiện: $x > y > 0.$

Nửa chu vi của khu đất là: $270:2 = 135$ (m)

Vì nửa chu vi của khu đất là $135$ m nên ta có phương trình $x + y = 135$ (1)

Vì khu đất có chiều dài gấp $5$ lần chiều rộng nên ta có phương trình $x = 5y$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 135\\x = 5y.\end{array} \right.$

Như vậy chỉ có khẳng định (ii) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 192

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là $x{\rm{\;(m)}},\,\,y{\rm{\;(m)}}$$\left( {x > y > 0,\,\,x > 1} \right).$

Vì chu vi của mảnh đất là $56{\rm{\;m}}$ nên ta có $2\left( {x + y} \right) = 56$ hay $x + y = 28$ (1)

Diện tích của mảnh đất ban đầu là $xy{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Nếu tăng chiều rộng thêm $2{\rm{\;m}}$ và giảm chiều dài đi $1{\rm{\;m}}$ thì lúc này, chiều dài mảnh đất là $x - 1{\rm{\;(m)}}$ và chiều rộng mảnh đất là $y + 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$ Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm $18{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình:

$\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 18$ hay $xy + 2x - y - 2 = xy + 18$.

Tức là, $2x - y = 20$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 28\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2), ta có $y = 2x - 20$ (*)

Thế (*) vào phương trình (1), ta được:

$x + 2x - 20 = 28$ hay $3x = 48$, tức là, $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện).

Thế $x = 16$ vào (*), ta được $y = 2 \cdot 16 - 20 = 12$ (thỏa mãn điều kiện).

Do đó chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là $16{\rm{\;m}}$ và $12{\rm{\;m}}$.

Như vậy, diện tích mảnh đất đó bằng $16 \cdot 12 = 192{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 544

Gọi chiều dài, chiều rộng của khu vườn lần lượt là $x,\,\,y\,\,\,\left( {x > y > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)$.

Theo đề, hiệu nửa chu vi và hai lần chiều rộng là 15 m nên $x + y - 2y = 15$ hay $x - y = 15$ (1).

Lại có, tổng nửa chu vi và 3 lần chiều rộng là 100 m nên $x + y + 3y = 100$ hay $x + 4y = 100$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\x + 4y = 100\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, được $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\5y = 85\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\y = 17\end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 32\\y = 17\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Diện tích của khu vườn là: $32 \cdot 17 = 544\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 36

Gọi x và y (cm) lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông (x, y > 4).

Diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là $S = \frac{1}{2}xy$ (cm$^{2}$)

Theo đề, nếu tăng mỗi cạnh góc vuông lên 3 cm thì diện tích tăng lên 36 cm$^{2}$ nên ta có phương trình $\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36$ (1)

Nếu giảm một cạnh góc vuông đi 2 cm, một cạnh giảm 4 cm thì diện tích giảm đi 26 cm$^{2}$ nên ta có phương trình $\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\\\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 63\\2x + y = 30\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình được x = 12 và y = 9 (thỏa mãn).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông được cạnh huyền là:

$\sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = 15\,\,\,\left( {cm} \right)$.

Vậy chu vi tam giác đó là: 12 + 9 + 15 = 36 (cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 7000

Gọi x (m) là chiều dài và y (m) là chiều rộng sân trường (x > y > 0).

Chu vi sân trường bằng 340 m nên ta có: 2(x + y) = 340 hay x + y = 170 (1)

Có 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20 m nên 3x – 4y = 20 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 170\\3x - 4y = 20\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình được x = 100 và y = 70 (thỏa mãn)

Do đó chiều dài của sân trường là 100 m và chiều rộng là 70 m.

Diện tích của sân trường là: 70.100 = 7 000 (m$^{2}$).