Bài tập Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Đáp án: $45$

$\left( P \right)$qua O và nhận $\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;2} \right)$làm VTPT

$\left( Q \right):x - y - 11 = 0$ có VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)$

Ta có $\cos (\widehat{(P),(Q)})=\frac{|\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{n}|}{OH.|\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{((P),(Q))}={45}^{0}$

Đáp án: 2

Mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là$\overrightarrow {{n_p}} = \left( {1; - 2;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;2m - 1} \right)$

Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi }{4}$ nên

$$\begin{array}{l}{\rm{cos}}\frac{\pi }{4} = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_p}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {1 + 2(2m - 1)} \right|}}{{3.\sqrt {1 + {{(2m - 1)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{\left( {4m - 1} \right)^2} = 9\left( {4{m^2} - 4m + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4{m^2} - 20m + 16 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right..\end{array}$$

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là $1$, ta được tọa độ các điểm như sau :

$M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{6}} \right)$$,C'\left( {0;1;0} \right)$$,D'\left( {1;1;0} \right)$ và $A\left( {1;0;1} \right)$$,B\left( {0;0;1} \right)$.

Khi đó ${\overrightarrow n _{\left( {MC'D'} \right)}} = \left( {0;1;3} \right)$$;{\overrightarrow n _{\left( {MAB} \right)}} = \left( {0;5;3} \right)$ nên $\cos \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}$$= \frac{{\left| {5.1 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}$ $= \frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}$.

Suy ra $\sin \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}$$= \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}} \right)}^2}}$$= \frac{{6\sqrt {85} }}{{85}}$.

Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O \equiv A$ như hình vẽ, chọn $a = 1$ đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm $B\left( {1;0;0} \right)$, $C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)$ suy ra trung điểm của $BC$ là $H\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$, vì $H$ là hình chiếu của $A'$ nên suy ra tọa độ của $A'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)$. Ta tìm tọa độ $B'$, gọi tọa độ $B'\left( {x;y;z} \right)$ khi đó ta có $\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB}$ nên tọa độ $B'\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)$. Ta cũng có $\overrightarrow {B'C} = \left( { - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)$ và $\overrightarrow {A'B} = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)$. Từ đó ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\left| {\overrightarrow {B'C} } \right|}}$ $= \frac{7}{{2.\sqrt 6 .\sqrt 8 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}$.

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $A'C'$ là hình chiếu vuông góc của $A'C$ trên $(ABCD)\Rightarrow (A'C,(ABCD))=(A'C,A'C')=\widehat{CA'C'}={30}^{0}.$

Ta có $AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 3 ;\tan \widehat {CA'C'} = \frac{{CC'}}{{A'C'}} \Rightarrow CC' = a.$

Kết hợp với giả thiết ta được $ABB'A'$ là hình vuông và có $H$ là tâm.

Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $K$ trên $A'D'\& A'A.$

Ta có $\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{3};$$A'K = \sqrt {A'{A^2} - A{K^2}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }};$

$\frac{1}{{K{F^2}}} = \frac{1}{{K{A^2}}} + \frac{1}{{A'{K^2}}} \Rightarrow KF = \frac{{a\sqrt 2 }}{3};KE = \sqrt {A'{K^2} - K{F^2}} \Rightarrow KE = \frac{a}{3}.$

Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thỏa mãn $O \equiv A'$ còn $D',{\rm{ }}B',{\rm{ }}A$ theo thứ tự thuộc các tia $Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz.$ Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

$A(0;0;a),B'(0;a;0),H(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}),K(\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0;\frac{a}{3}),E(\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0;0),F(0;0;\frac{{a\sqrt 2 }}{3}).$

Mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ là mặt phẳng $(yOz)$ nên có VTPT là ${\overrightarrow n _1} = (1;0;0);$

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {AH} } \right] = \frac{{{a^2}}}{6}{\overrightarrow n _2},{\rm{ }}{\overrightarrow n _2}(2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 ).$

Mặt phẳng $(AKH)$có VTPT là ${\overrightarrow n _2} = (2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 );$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng$\left( {AHK} \right)$ và $\left( {ABB'A'} \right)$.

Ta có $cosα=|cos({\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2})|=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow α={45}^{0}.$

Lấy $H$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: ${V_{ABC.A'BC'}} = CC'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4} \Rightarrow CC = a$vì ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có $M \equiv O$.

$M\left( {0\,;0\,;0} \right),{\rm{ }}A'\left( {\frac{a}{2}\,;0\,;0} \right),{\rm{ }}B'\left( {0\,;\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\,;0} \right),{\rm{ C'}}\left( {0; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};0} \right);{\rm{ }}A\left( {\frac{a}{2};0\,;a} \right);{\rm{ }}N\left( {0\,; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};\frac{a}{2}} \right)$.

Ta có: $\left( {ABC} \right) \bot Oz$ nên $\left( {ABC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {MA} = \left( {\frac{a}{2};0;a} \right)$, $\overrightarrow {MN} = \left( {0; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};\frac{a}{2}} \right)$.

Gọi ${\overrightarrow v _1} = \frac{a}{2}\overrightarrow {MA} \Rightarrow {\overrightarrow v _1} = \left( {1;0;2} \right)$, ${\overrightarrow v _2} = \frac{a}{2}\overrightarrow {MN} \Rightarrow {\overrightarrow v _2} = \left( {0; - \sqrt 3 ;1} \right)$.

Khi đó mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ song song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương là ${\overrightarrow v _1}$ và ${\overrightarrow v _2}$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {{{\overrightarrow v }_1},{{\overrightarrow v }_2}} \right] = \left( {2\sqrt 3 ; - 1; - \sqrt 3 } \right)$.

Vậy $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $B\left( {0;0;0} \right)$, $A\left( {a\sqrt 2 ;0;0} \right)$, $C\left( {0;a\sqrt 2 ;0} \right)$, $S\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có $\left( {ABC} \right):z = 0$, $\overrightarrow {AS} = \left( {x - a\sqrt 2 ;y;z} \right)$, $\overrightarrow {CS} = \left( {x;y - a\sqrt 2 ;z} \right)$

Do $\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB} = 0$$\Rightarrow \left( {x - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2 = 0$$\Rightarrow x = a\sqrt 2$, $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = 2a$$\Rightarrow z = 2a$ $\left( {z > 0} \right)$

$\overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB} = 0$$\Rightarrow \left( {y - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2 = 0$$\Rightarrow y = a\sqrt 2$$\Rightarrow S\left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AS} = \left( {0;a\sqrt 2 ;2a} \right)$, $\overrightarrow {CS} = \left( {a\sqrt 2 ;0;2a} \right)$, $\overrightarrow {BS} = \left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)$.

$\left( {SBC} \right)$ có 1 vtpt $\vec n = \left( { - \sqrt 2 ;0;1} \right)$, $\left( {SAB} \right)$ có 1 vtpt $\vec m = \left( {0;\sqrt 2 ; - 1} \right)$$\Rightarrow \cos \varphi$$= \frac{1}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}$$= \frac{1}{3}$.

Gọi $O$ là trung điểm $BC$.

Ta có: $BO=AB.{\text{cos30}}^{o}\Leftrightarrow AB=\frac{BO}{{\text{cos30}}^{o}}=\frac{a\sqrt{3}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=a=AC$ và $AO=AB.{\text{sin30}}^{o}=\frac{a}{2}$

Theo đề bài:

$2\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{C{C}^{'}}\Leftrightarrow \overrightarrow{CM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{C{C}^{'}}\Leftrightarrow \overrightarrow{C{C}^{'}}+\overrightarrow{{C}^{'}M}=\frac{3}{2}\overrightarrow{C{C}^{'}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{C}^{'}M}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{'}}\Rightarrow {C}^{'}M=\frac{a}{2}$

Coi $a = 1$.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$như hình vẽ với $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$, $A\left( {0;\,\frac{1}{2};\,0} \right)$, $B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)$, $C\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)$, $B'\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,1} \right)$, $M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,\frac{3}{2}} \right)$.

Khi đó $\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \left( {ABC} \right)$ có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB'} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,1} \right)$, $\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} = 4\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {1;\,5\sqrt 3 ;\,2\sqrt 3 } \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AB'M} \right)$.

Vậy ${\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2\sqrt 3 } \right|}}{{1.2\sqrt {22} }} = \sqrt {\frac{3}{{22}}} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = \sqrt {\frac{{19}}{{22}}} = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}$.

Dựng $AO \bot \left( {BCD} \right)$ khi đó $O$ là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật $BCDO$.

Góc giữa đường thẳng $AD$ và $BC$ là góc giữa đường thẳng $AD$ và $OD$ và bằng $\widehat{ADO}={60}^{0}$

Xét tam giác ADO vuông tại O: $\tan {60}^{0}=\frac{OA}{OD}\Rightarrow OA=3\sqrt{3}.$

Gắn hệ tọa độ $Oxyz$ vào hình chóp như hình vẽ.

Ta có:

$O\left( {0;0;0} \right)$; $B\left( {4;0;0} \right)$; $D\left( {0;3;0} \right)$; $C\left( {4;3;0} \right)$; $A\left( {0;0;3\sqrt 3 } \right)$.

$\overrightarrow {AB} = \left( {4;0; - 3\sqrt 3 } \right)$; $\overrightarrow {BC} = \left( {0;3;0} \right)$; $\overrightarrow {AD} = \left( {0;3; - 3\sqrt 3 } \right)$; $\overrightarrow {CD} = \left( { - 4;0;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nhận véctơ $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {9\sqrt 3 ;0;12} \right)$ làm véctơ pháp tuyến.

Mặt phẳng $\left( {ADC} \right)$ nhận véctơ $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {0;12\sqrt 3 ;12} \right)$ làm véctơ pháp tuyến.

Nên $\cos \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ADC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {43} .2}} = \frac{{2\sqrt {43} }}{{43}} \cdot$