Bài tập Bài tập cuối chương 9 có đáp án

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$= (−1; 3), $\overrightarrow{DC}$ = (−1; 3) ⇒ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

⇒ ABCD là hình bình hành.

Lại có: $\overrightarrow{AD}$ = (3; 1) ⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$= −1. 3 + 3. 1 = 0.

⇒ $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ hay AB ⊥ AD.

⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}$.

AB = $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(-1)}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$.

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông.

Vậy ABCD là hình vuông.

b) Tâm I của hình vuông ABCD nên I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD hay I là trung điểm của AC. Khi đó toạ độ điểm I là:

⇒ $I(\frac{2+4}{2};\frac{1+5}{2})$ ⇒ I = (3; 3).

Vậy tâm của hình vuông ABCD là I(3; 3).

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c).

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒ $K(\frac{a+b}{2};0)$.

H là trung điểm của CD ⇒ $H(0;\frac{c+d}{2})$.

⇒ $I(\frac{a+b}{2};\frac{c+d}{2})$.

Ta có: $\overrightarrow{IA}=(a-\frac{a+b}{2};-\frac{c+d}{2})$⇒ IA = $|\overrightarrow{IA}|=\sqrt{{(a-\frac{a+b}{2})}^{2}+{(-\frac{c+d}{2})}^{2}}$ .

$\overrightarrow{IC}=(-\frac{a+b}{2};c-\frac{c+d}{2})$ ⇒ IC = $|\overrightarrow{IC}|=\sqrt{{(-\frac{a+b}{2})}^{2}+{(c-\frac{c+d}{2})}^{2}}$.

Vì IA = IC (= R) ⇒ $\sqrt{{(a-\frac{a+b}{2})}^{2}+{(-\frac{c+d}{2})}^{2}}=\sqrt{{(-\frac{a+b}{2})}^{2}+{(c-\frac{c+d}{2})}^{2}}$

⇔ (a − b)$^{2}$ + (c + d)$^{2}$ = (a + b)$^{2}$ + (c − d)$^{2}$

⇔ a$^{2}$ − 2ab + b$^{2}$ + c$^{2}$ + 2cd + d$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ + c$^{2}$ − 2cd + d$^{2}$

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có: $\overrightarrow{EF}$= (−a; −c}, $\overrightarrow{BD}$= (−b; d)

⇒ $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{BD}$= (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒ $\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{BD}$ hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.

a) Đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{n}_{1}}$ = (1; −1) và $\overrightarrow{{n}_{2}}$= (1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}$= 1.1 + (−1). 1 = 0 nên $\overrightarrow{{n}_{1}}$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ là hai vectơ vuông góc

⇒ d$_{1}$ ⊥ d$_{2}$ ⇒ (d$_{1}$, d$_{2}$) = 90°.

Gọi M là giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x-y+2=0 \\ x+y+4=0\end{matrix}$.

Giải hệ $\{\begin{matrix}x-y+2=0 \\ x+y+4=0\end{matrix}$ta được $\{\begin{matrix}x=-3 \\ y=-1\end{matrix}$⇒ M(−3; −1).

Vậy d$_{1}$ và d$_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại M(−3; −1).

b) Ta có: $\overrightarrow{{u}_{1}}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của d$_{1}$ ⇒ $\overrightarrow{{n}_{1}}$= (2; −1) là vectơ pháp tuyến của d$_{1}$.

Phương trình tổng quát của d$_{1}$ đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{{n}_{1}}$= (2; −1) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − (y − 3) = 0 ⇔ 2x – y + 1 = 0.

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{n}_{1}}$ = (1; −3)

Ta có: $\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{-3}$ ⇒ $\overrightarrow{{n}_{1}}$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ là hai vectơ không cùng phương.

⇒ d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt nhau.

Gọi M là giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$.

Tọa độ giao điểm M của d$_{1}$ và d$_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}2x-y+1=0 \\ x-3y+2=0\end{matrix}$ .

Giải hệ $\{\begin{matrix}2x-y+1=0 \\ x-3y+2=0\end{matrix}$ ta được $\{\begin{matrix}x=-\frac{1}{5} \\ y=\frac{3}{5}\end{matrix}\Rightarrow M(-\frac{1}{5};\frac{3}{5})$ .

Ta có: $\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}$ = 2.1 + (−1).(−3) = 5; $|\overrightarrow{{n}_{1}}|=\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}}=\sqrt{5}$; $|\overrightarrow{{n}_{2}}|=\sqrt{{1}^{2}+{(-3)}^{2}}=\sqrt{10}$

Khi đó: cos(d$_{1}$, d$_{2}$) = $\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|.|\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

⇒ (d$_{1}$, d$_{2}$) = 45°.

Vậy d$_{1}$ cắt d$_{2}$ tại điểm $M(-\frac{1}{5};\frac{3}{5})$ và (d$_{1}$, d$_{2}$) = 45°.