Bài tập Bài tập cuối chương 9 có đáp án

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$= (−1; 3), $\overrightarrow{DC}$ = (−1; 3) ⇒ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

⇒ ABCD là hình bình hành.

Lại có: $\overrightarrow{AD}$ = (3; 1) ⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$= −1. 3 + 3. 1 = 0.

⇒ $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ hay AB ⊥ AD.

⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}$.

AB = $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(-1)}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$.

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông.

Vậy ABCD là hình vuông.

b) Tâm I của hình vuông ABCD nên I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD hay I là trung điểm của AC. Khi đó toạ độ điểm I là:

⇒ $I(\frac{2+4}{2};\frac{1+5}{2})$ ⇒ I = (3; 3).

Vậy tâm của hình vuông ABCD là I(3; 3).

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c).

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒ $K(\frac{a+b}{2};0)$.

H là trung điểm của CD ⇒ $H(0;\frac{c+d}{2})$.

⇒ $I(\frac{a+b}{2};\frac{c+d}{2})$.

Ta có: $\overrightarrow{IA}=(a-\frac{a+b}{2};-\frac{c+d}{2})$⇒ IA = $|\overrightarrow{IA}|=\sqrt{{(a-\frac{a+b}{2})}^{2}+{(-\frac{c+d}{2})}^{2}}$ .

$\overrightarrow{IC}=(-\frac{a+b}{2};c-\frac{c+d}{2})$ ⇒ IC = $|\overrightarrow{IC}|=\sqrt{{(-\frac{a+b}{2})}^{2}+{(c-\frac{c+d}{2})}^{2}}$.

Vì IA = IC (= R) ⇒ $\sqrt{{(a-\frac{a+b}{2})}^{2}+{(-\frac{c+d}{2})}^{2}}=\sqrt{{(-\frac{a+b}{2})}^{2}+{(c-\frac{c+d}{2})}^{2}}$

⇔ (a − b)$^{2}$ + (c + d)$^{2}$ = (a + b)$^{2}$ + (c − d)$^{2}$

⇔ a$^{2}$ − 2ab + b$^{2}$ + c$^{2}$ + 2cd + d$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ + c$^{2}$ − 2cd + d$^{2}$

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có: $\overrightarrow{EF}$= (−a; −c}, $\overrightarrow{BD}$= (−b; d)

⇒ $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{BD}$= (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒ $\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{BD}$ hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.

a) Đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{n}_{1}}$ = (1; −1) và $\overrightarrow{{n}_{2}}$= (1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}$= 1.1 + (−1). 1 = 0 nên $\overrightarrow{{n}_{1}}$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ là hai vectơ vuông góc

⇒ d$_{1}$ ⊥ d$_{2}$ ⇒ (d$_{1}$, d$_{2}$) = 90°.

Gọi M là giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x-y+2=0 \\ x+y+4=0\end{matrix}$.

Giải hệ $\{\begin{matrix}x-y+2=0 \\ x+y+4=0\end{matrix}$ta được $\{\begin{matrix}x=-3 \\ y=-1\end{matrix}$⇒ M(−3; −1).

Vậy d$_{1}$ và d$_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại M(−3; −1).

b) Ta có: $\overrightarrow{{u}_{1}}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của d$_{1}$ ⇒ $\overrightarrow{{n}_{1}}$= (2; −1) là vectơ pháp tuyến của d$_{1}$.

Phương trình tổng quát của d$_{1}$ đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{{n}_{1}}$= (2; −1) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − (y − 3) = 0 ⇔ 2x – y + 1 = 0.

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{n}_{1}}$ = (1; −3)

Ta có: $\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{-3}$ ⇒ $\overrightarrow{{n}_{1}}$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ là hai vectơ không cùng phương.

⇒ d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt nhau.

Gọi M là giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$.

Tọa độ giao điểm M của d$_{1}$ và d$_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}2x-y+1=0 \\ x-3y+2=0\end{matrix}$ .

Giải hệ $\{\begin{matrix}2x-y+1=0 \\ x-3y+2=0\end{matrix}$ ta được $\{\begin{matrix}x=-\frac{1}{5} \\ y=\frac{3}{5}\end{matrix}\Rightarrow M(-\frac{1}{5};\frac{3}{5})$ .

Ta có: $\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}$ = 2.1 + (−1).(−3) = 5; $|\overrightarrow{{n}_{1}}|=\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}}=\sqrt{5}$; $|\overrightarrow{{n}_{2}}|=\sqrt{{1}^{2}+{(-3)}^{2}}=\sqrt{10}$

Khi đó: cos(d$_{1}$, d$_{2}$) = $\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|.|\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

⇒ (d$_{1}$, d$_{2}$) = 45°.

Vậy d$_{1}$ cắt d$_{2}$ tại điểm $M(-\frac{1}{5};\frac{3}{5})$ và (d$_{1}$, d$_{2}$) = 45°.

Vì đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 nên R = d(M; d)

Ta có: d(M; d) = $\frac{|14.(-2)-5.3+60|}{\sqrt{{14}^{2}+{(-5)}^{2}}}=\frac{\sqrt{221}}{13}$

⇒ R = d(M; d) = $\frac{\sqrt{221}}{13}$

Vậy bán kính của đường tròn tâm M(−2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 là $\frac{\sqrt{221}}{13}$ .

Ta có Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{n}_{1}}$ =(6 ; 8) và $\overrightarrow{{n}_{2}}$= (3 ; 4).

Khi đó: $\frac{6}{3}=\frac{8}{4}(=2)$ ⇒ Δ và Δ′ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $M(1;6)$ ∈ Δ'.

Ta tính khoảng cách từ điểm M đến phương trình Δ′ ta được :

d(M; Δ) = $\frac{|3.0+4.\frac{13}{8}-27|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{41}{10}$ = 4,1.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ bằng 4,1.

a) Phương trình đường tròn (x − 2)$^{2}$ + (y − 7)$^{2}$ = 64 có dạng (x − a)$^{2}$ + (y − b)$^{2}$ = R$^{2}$.

⇒ Đường tròn có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

Vậy đường tròn (x − 2)$^{2}$ + (y − 7)$^{2}$ = 64 có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

b) Phương trình đường tròn (x + 3)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 8 có dạng (x − a)$^{2}$ + (y − b)$^{2}$ = R$^{2}$.

⇒ Đường tròn có tâm I(−3; −2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$.

Vậy đường tròn (x + 3)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 8 có tâm I(−3; −2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$.

c) Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ − 4x − 6y – 12 = 0 có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0 với a = 2, b = 3, c = −12.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ − c = 2$^{2}$ + 3$^{2}$ + 12 = 25 ⇒ bán kính R = $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-c}=\sqrt{25}$ = 5.

Vậy đường tròn x$^{2}$ + y$^{2}$ − 4x − 6y – 12 = 0 có tâm I(2; 3) và bán kính R = 5.

b) Ta có $\overrightarrow{IA}$ = (3; 3) ⇒ IA = $|\overrightarrow{IA}|=\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$ .

Vì đường tròn đi qua điểm A nên ta có: R = IA = $3\sqrt{2}$

Vậy phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là: (x − 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ = 18.

c) Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0.

Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y − 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:

$\{\begin{matrix}4a+b-16=0 \\ {4}^{2}+{1}^{2}-8a-2b+c=0 \\ {6}^{2}+{5}^{2}-12a-10b+c=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4a+b-16=0 \\ -8a-2b+c=-17 \\ -12a-10b+c=-61\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=3 \\ b=4 \\ c=15\end{matrix}$.

Vậy phương trình đường tròn là: x$^{2}$ + y$^{2}$ − 6x − 8y + 15 = 0.

) Gọi A, B là giao điểm của đường tròn cần tìm với lần lượt trục Ox và Oy.

Ta có hình vẽ sau:

Kẻ OH ⊥ Ox, OK ⊥ Oy

⇒ H là trung điểm của OA (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OH = HA = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{a}{2}$.

⇒ K là trung điểm của OB (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OK = KB = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{b}{2}$.

⇒ I $(\frac{a}{2};\frac{b}{2})$

⇒ $\overrightarrow{IO}=(\begin{matrix}0-\frac{a}{2}; & 0-\frac{b}{2}\end{matrix})$$=(\begin{matrix}-\frac{a}{2}; & -\frac{b}{2}\end{matrix})$ ⇒ IA = $\sqrt{{(-\frac{a}{2})}^{2}+{(-\frac{b}{2})}^{2}}$$=\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}}$

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${(x-\frac{a}{2})}^{2}+{(y-\frac{b}{2})}^{2}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$.

Đường tròn (C): (x − 5)$^{2}$ + (y − 3)$^{2}$ = 100 có tâm I(5; 3).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:

(5 − 11)(x − 11) + (3 − 11)(y − 11) = 0

⇔ −6x − 8y + 154 = 0

⇔ 3x + 4y – 77 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 5)$^{2}$ + (y − 3)$^{2}$ = 100 tại điểm M(11; 11) là : 3x + 4y – 77 = 0.

a) Elip có đỉnh (5; 0), (0; 4) ⇒ a = 5; b = 4.

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$.

Vậy elip thỏa mãn điều kiện đỉnh (5; 0), (0; 4) là $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ .

b) Elip có đỉnh (5; 0) ⇒ a = 5; tiêu điểm (3; 0) ⇒ c = 3

⇒ b = $\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$= 4

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ .

c) Vì độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12 nên ta có: 2a = 16; 2b = 12

⇒ a = 8; b = 6

⇒ Phương trình elip (E) là:$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$ .

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$.

d) Vì độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12 nên ta có: 2a = 20; 2c = 12

⇒ a = 10; c = 6

⇒ b = $\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$ = 8.

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$.

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$

a) Với parabol y$^{2}$ = 12x :

Phương trình parabol có dạng: y$^{2}$ = 2px ⇒ 2p = 12 ⇒ p = 6 ⇒ $\frac{p}{2}$ = 3.

b) Với parabol y$^{2}$ = x:

Phương trình parabol có dạng: y$^{2}$ = 2px ⇒ 2p = 1 ⇒ p = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{1}{4}$ .

Vậy tọa độ tiêu điểm là $(\frac{1}{4};0)$ và phương trình đường chuẩn là x + $\frac{1}{4}$ = 0.

a) Parabol (P) có tiêu điểm (4; 0) ⇒ $\frac{p}{2}$ = 4 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = 16x.

b. Parabol (P) có đường chuẩn là x = $-\frac{1}{6}$ ⇒ p = $\frac{1}{3}$

⇒ Phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = 2. $\frac{1}{3}$ x = $\frac{2}{3}$ x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = $\frac{2}{3}$ x.

c) Parabol (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y$^{2}$ = 2px, ta được: 4$^{2}$ = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = 16x.

c) Parabol (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y$^{2}$ = 2px, ta được: 4$^{2}$ = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = 16x.

d) Parabol (P) tiêu điểm $F(\frac{p}{2};0)$ , phương trình đường chuẩn ∆ : x + = 0.

Vì parabol (P) có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8 nên:

d(F, Δ) = 8 ⇔ $\frac{|\frac{p}{2}+\frac{p}{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}$= 8 ⇔ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y$^{2}$ = 16x.

Vì parabol (P) có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm ⇒ Tiêu điểm có tọa độ (5; 0) ⇒ p = 10

⇒ Phương trình parabol (P): y$^{2}$ = 20x.

Ta có điểm A(45; y$_{A}$) ∈ (P) nên thay tọa độ A vào phương trình (P), ta được:

y$_{A}$$^{2}$ = 20. 45 ⇒ y$_{A}$ = 30

⇒ AB = 2. 30 = 60 (cm).

Vậy khoảng cách AB là 60cm.

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng: y$^{2}$ = 2px.

Ta có: A(1; 3) ∈ (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

3$^{2}$ = 2p. 1 ⇒ p = $\frac{9}{2}$.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y$^{2}$ = 9x.

b) Vì đường ống nằm ở tiêu điểm của (P) nên khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol bằng: $\frac{p}{2}$ = 2,25 (m).

Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol khoảng 2,25 mét.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng y$^{2}$ = 2px.

Gọi chiều cao của cổng là h (m) ⇒ OC = h

Ta có khoảng cách từ điểm M đến mặt đất là 2m nên MH = 2 ⇒ OK = h – 2 và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến cổng gần nhất là 0,5 m nên AH = 0,5.

Ta lại có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m nên AC = 192 : 2 = 96.

Khi đó tọa độ điểm A là A(h; 96)

Mà AH + CH = AC

⇒ CH = AC – AH = 96 – 0,5 = 95,5

⇒ M(h – 2; 95,5).

Vì các điểm M và A thuộc parabol nên tọa độ của M và A đều thỏa mãn phương trình y$^{2}$ = 2px, ta có:

96$^{2}$ = 2ph (1) và 95,5$^{2}$ = 2p(h – 2) (2)

Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:

$\{\begin{matrix}{96}^{2}=2ph \\ 95,{5}^{2}=2p(h-2)\end{matrix}\Rightarrow \frac{{96}^{2}}{95,{5}^{2}}=\frac{h}{h-2}$⇒ h = $\frac{{2.96}^{2}}{{96}^{2}-95,{5}^{2}}$≈ 192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5 m.