84 bài tập Xác định tâm, bán kính của mặt cầu và lập phương trình mặt cầu (có lời giải)

Mặt cầu $(S)$ có đường kính AB nên có tâm $J(2;4;4)$ là trung điểm của $A B$ và bán kính $R = JA = \sqrt {11}$.

Vậy $(S)$ có phương trình: ${(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 4)^2} = 11$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $A(1;0; - 2)$ và đi qua điềm $B(2;4;1)$ nên có bán kính $R = AB = \sqrt {26}$.

Vậy $(S)$ có phương trình: ${(x - 1)^2} + {y^2} + {(z + 2)^2} = 26$.

Mặt cằu $(S)$ có tâm I( $3; - 2; - 4)$, bán kính $R = 10$ có phương trình là:

${(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = 100$

Mặt cằu (S) có đường kính EF nên có tâm $1(5; - 2;4)$ là trung điểm của EF và bán kính $IE = \sqrt {{{(5 - 3)}^2} + {{( - 1 + 2)}^2} + {{(8 - 4)}^2}} = \sqrt {21}$ có phương trình là:

${(x - 5)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 21$

a) Mặt cầu $({\rm{S}})$ có tâm là gốc tọa độ, bán kính $R = 1$ có phương trình là:

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$

b) Đoạn thẳng AB có trung điểm $J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)$

Mặt cầu $({\rm{S}})$ có: $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 3 + 1)}^2} + {{( - 1 - 2)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$

Mặt cầu (S) có tâm $J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)$ và $R = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$ có phương trình là:

${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(y + 2)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}$

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng: (S): $\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 9} \right) = 16$

Hay (S): ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {4^2}$.

Vậy $(S)$ là mặt cầu có tâm $I(1; - 2;3)$ và bán kính $R = 4$.

Ta viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9 + {z^2} = 25$

$\Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} + {z^2} = 25.$

Vậy $(S)$ là mặt cầu có tâm $I(2; - 3;0)$ và $R = 5$.

Bán kính của mặt cầu là $MN = \sqrt {{{(2 + 2)}^2} + {{( - 3 - 1)}^2} + {{( - 4 - 3)}^2}} = \sqrt {81} = 9$.

Mặt cầu $(S)$ có $M( - 2;1;3)$ và bán kính $R = 9$ có phương trình là:

${(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 81$

a) Phương trình đã cho tương ứng với $a = 1,b = - \frac{3}{2},c = 4,d = 100$. Trong trường hợp này, ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \frac{9}{4} + 16 - 100 < 0$. Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với $a = 2,b = - \frac{5}{2},c = 1,d = - \frac{3}{4}$. Trong trường hợp này, ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + \frac{{25}}{4} + 1 + \frac{3}{4} = 12 > 0$. Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm $I\left( {2; - \frac{5}{2};1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {12} = 2\sqrt 3$.

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện $- 2xy$ trong phương trình.

Từ phương trình trên ta có $a = - 2;b = \frac{5}{2};{\rm{c}} = - 3$ và $d = \frac{{25}}{4}$

Phương trình mặt cầu (S) có tâm $I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)$, $R = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{( - 3)}^2} - \frac{{25}}{4}} = \sqrt {13}$.

Ta có $R = d(I,(P)) = \frac{{|3.0 + 2.3 + 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}$

Mặt cầu $({\rm{S}})$ có tâm I( $0;3; - 1)$ và $R = \frac{7}{{\sqrt {14} }}$ có phương trình là: ${x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 1)^2} = \frac{{49}}{{14}}$

Mặt cầu (S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0$ có tâm I( $\left. { - 1;1; - 4} \right)$.

Bán kính $R = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 4)}^2} - ( - 18)} = 6$

a) Phương trình có ${\rm{a}} = 1;{\rm{b}} = 0;c = \frac{5}{2};{\rm{d}} = 30$.

Có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 0 + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 30 = - \frac{{91}}{4} < 0$. Nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.

b) Ta có $a = 2;b = - 1;c = 1;d = 0$.

Có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {( - 1)^2} + {1^2} - 0 = 6 > 0$.

Do đó đây là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm ${\rm{I}}(2; - 1;1)$ và $R = \sqrt 6$.

c) Đây không phải là phương trình mặt cầu. Vi phương trình mặt cầu phải có dạng:

${x^2} + {y^2} + {z^2} + \ldots$

d) Đây không phải là mặt cầu vì ${x^2} + {y^2} + {z^2} = - 5 < 0$ (Vô lý).

a) Mặt cằu $(S)$ có tâm $1(7; - 3;0)$, bán kính $R = 8$ có phương trình là ${(x - 7)^2} + {(y + 3)^2} + {z^2} = 64$

b) Bán kính của mặt cầu là $MN = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{(0 - 1)}^2} + {{(1 + 4)}^2}} = \sqrt {30}$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $M(3;1; - 4)$, bán kính $R = \sqrt {30}$ có phương trình là: ${(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 4)^2} = 30$.

c) Có $I(3;5$; 6) là trung điếm của AB , bán kính của mặt cằu là $IA = \sqrt {{{(4 - 3)}^2} + {{(6 - 5)}^2} + {{(8 - 6)}^2}} = \sqrt 6$

Mặt cằu $(S)$ có tâm $I(3;5;6)$ và bán kính $R = \sqrt 6$ có phương trình là: ${(x - 3)^2} + {(y - 5)^2} + {(z - 6)^2} = 6$

a) Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a = - \frac{5}{2};b = \frac{7}{2};c = - \frac{1}{2};d = - 1$.

Có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{{79}}{4} > 0$.

Do đó đây là phương trình mặt cằu với tâm $I\left( { - \frac{5}{2};\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right),R = \frac{{\sqrt {79} }}{2}$.

b) Phương trình ${{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} + 4{\rm{x}} + 6{\rm{y}} - 2{\rm{z}} + 100 = 0$ có dạng ${{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} - 2{\rm{ax}} - 2{\rm{by}} - 2{\rm{cz}} + {\rm{d}} = 0$ với a $= - 2;b = - 3;c = 1$ và $d = 100$.

Có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 9 + 1 - 100 = - 86 < 0$.

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2};c = \frac{1}{2};d = \frac{1}{2}$.

Có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0$.

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$ và $R = \frac{1}{2}$.

Ta có: ${(x - 8)^2} + {(y + 7)^2} + {z^2} = 4 \Leftrightarrow {(x - 8)^2} + {[y - ( - 7)]^2} + {(z - 0)^2} = {2^2}.$

Vậy mặt cầu đã cho có tâm $I(8; - 7;0)$ và bán kính $R = 2$.

Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 6z + 5 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25 + {y^2} + {z^2} + 2 \cdot 3 \cdot z + 9 = 25 + 9 - 5$

$\Leftrightarrow {(x - 5)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 29.$

Vậy mặt cầu đã cho có tâm $I(5;0; - 3)$ và bán kính $R = \sqrt {29}$.

Tâm $I(x;y;z)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB nên

$x = \frac{{6 + 0}}{2} = 3;y = \frac{{ - 8 + 6}}{2} = - 1;z = \frac{{1 + 3}}{2} = 2.$Vậy $I(3; - 1;2)$.

Phương trình mặt cầu đó là: ${(x - 0)^2} + {[y - ( - 12)]^2} + {(z - 3)^2} = {4^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {(y + 12)^2} + {(z - 3)^2} = 16.{\rm{ }}$

Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$IA = \sqrt {{{[ - 2 - ( - 3)]}^2} + {{[ - 5 - ( - 7)]}^2} + {{(7 - 8)}^2}} = \sqrt 6 .$

Vậy phương trình mặt cầu đó là: ${(x + 3)^2} + {(y + 7)^2} + {(z - 8)^2} = 6$.

a) Tâm $I(0; - 4; - 5)$, bán kính $R = 7$.

b) $LA = 7 = R$ nên $A$ thuộc mặt cầu.

c) $IB = \sqrt {17} < R$ nên $B$ nằm trong mặt cầu.

d) $IC = \sqrt {98} > R$ nên $C$ nằm ngoài mặt cầu.

e) Ta có: $\overrightarrow {IC} = (7;7;0)$, chọn $\vec u = \frac{1}{7}\overrightarrow {IC} = (1;1;0)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng IC. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng IC là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = - 4 + t}\\{z = - 5.}\end{array}} \right.$

g ) Toạ độ giao điểm của đường thẳng IC và mặt cầu $(S)$ tương ứng với tham số $t$ thoả mãn:

${t^2} + {( - 4 + t + 4)^2} + {( - 5 + 5)^2} = 49 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{49}}{2} \Leftrightarrow t = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}$ hoặc $t = \frac{{ - 7\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy $M\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 4 + \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right),N\left( {\frac{{ - 7\sqrt 2 }}{2}; - 4 - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right)$.

a) ${(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} + {(z - 5)^2} = 81$.

b) ${(x + 4)^2} + {(y - 6)^2} + {(z - 7)^2} = 9$.

c) ${x^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 9$.

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$.

b) Phương trình đường thẳng AB là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{y = t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.$ ( là tham số).

Toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt cầu $(S)$ tương ứng với tham số $t$ thoả mãn: ${1^2} + {t^2} + {( - 1 + t)^2} = 4 \Leftrightarrow t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ hoăc $t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$.

Vậy $C\left( {1;\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right),D\left( {1;\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)$.

Do $IA = \sqrt {{{(10 - ( - 2))}^2} + {{(1 - 1)}^2} + {{(2 - 5)}^2}} = \sqrt {153} > 3$ nên điểm $A(10;1;2)$ nằm ngoài mặt cầu đó.

Vì $IB = \sqrt {{{(0 - ( - 2))}^2} + {{(1 - 1)}^2} + {{(4 - 5)}^2}} = \sqrt 5 < 3$ nên điểm $B(0;1;4)$ nằm trong mặt cầu đó.

Do $IC = \sqrt {{{(0 - ( - 2))}^2} + {{(3 - 1)}^2} + {{(4 - 5)}^2}} = \sqrt 9 = 3$ nên điểm $C(0;3;4)$ nằm trên mặt cầu đó.

Mặt cầu tâm I đi qua điểm A nên bán kính của mặt cầu tâm I là:

${\rm{R}} = {\rm{A}} = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(4 - 2)}^2} + {{(5 - 3)}^2}} = 3$

Đường kính của mặt cầu đó bằng $2R = 6$.

a) Phương trình của mặt cầu tâm $I(1;2;3)$ bán kính $R = 10$ là: ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 100$.

b) Bán kính mặt cầu là: $R = IB = \sqrt {{{(0 - 3)}^2} + {{(2 + 1)}^2} + {{(1 + 5)}^2}} = \sqrt {54} {\rm{. }}$

Phương trình của mặt cầu tâm $I(3; - 1; - 5)$ bán kính $R = \sqrt {54}$ là: ${(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 5)^2} = 54$.

Ta có ${x^2} + {(y + 5)^2} + {(z + 1)^2} = 2 \Leftrightarrow {(x - 0)^2} + {[y - ( - 5)]^2} + {[z - ( - 1)]^2} = {(\sqrt 2 )^2}$.

Vậy mặt cầu đã cho có tâm ${\rm{I}}(0; - 5; - 1)$ và bán kính $R = \sqrt 2$

a) Phương trình mặt cầu tâm O bán kính R là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}{\rm{. }}$

b) Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB .

Tọa độ điểm । là ${x_I} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2;{y_I} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3;{z_I} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4$. Suy ra ।(2; $3;4)$.

Bán kính của mặt cầu là ${\rm{R}} = {\rm{IA}} = \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(2 - 3)}^2} + {{(1 - 4)}^2}} = \sqrt {11}$.

Phương trình mặt cầu đường kính AB là: ${(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 4)^2} = 11$

a) Phương trình $2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 2z + 1 = 0$ không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ khác nhau.

b) Phương trình ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 8z - 3 = 0$ không phải là phương trình của một mặt cầu vì không có biểu thức ${z^2}$.

${\rm{ a) Ta có : }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0$

$\quad \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 \cdot 2 \cdot x + 2 \cdot 5 \cdot y - 2 \cdot 1 \cdot z + 14 = 0$

$\quad \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 5)^2} + {(z - 1)^2} = 16.$

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm $I(2; - 5$; 1) bán kính $R = \sqrt {16} = 4$.

b) Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot y - 2 \cdot 3 \cdot z + 20 = 0$

$\Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = - 6 < 0.$

Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

Cách 1:

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 + {y^2} - 2 \cdot 1 \cdot y + 1 + {z^2} - 2 \cdot 2 \cdot z + 4 = 9 + 1 + 4 + 11$

$\Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 25.$

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm $I(3;1;2)$ và bán kính ${\rm{R}} = \sqrt {25} = 5$.

Cách 2:

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot 1 \cdot y - 2 \cdot 2 \cdot z - 11 = 0$

Khi đó ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {3^2} + {1^2} + {2^2} - ( - 11) = 25 > 0$.

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm I(3;1; 2) và bán kính $R = \sqrt {25} = 5$.

a) Ta có ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 7)^2} = 100 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {[y - ( - 2)]^2} + {(z - 7)^2} = {10^2}$.

Mặt cầu đã cho có tâm I(1; $- 2;7)$ và bán kính $R = 10$. cầu đó.

Do ${\rm{IB}} = \sqrt {{{(9 - 1)}^2} + {{(4 - ( - 2))}^2} + {{(7 - 7)}^2}} = \sqrt {100} = 10$ nên điếm ${\rm{B}}(9;4;7)$ nầm trên mặt cằu đó.

Do ${\rm{K}} = \sqrt {{{(9 - 1)}^2} + {{(9 - ( - 2))}^2} + {{(10 - 7)}^2}} = \sqrt {194} > 10$ nên điếm $C(9;9;10)$ nẳm ngoài mặt cầu đó.

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2 \cdot 2 \cdot x + 4 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} - 2 \cdot 5 \cdot z + 25 = 4 + 1 + 25 - 2$

$\Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 5)^2} = 28.$

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm $1(2;1;5)$ và bán kính $R = \sqrt {28} = 2\sqrt 7$

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm ${\rm{I}}(3; - 7$; 1) và bán kính ${\rm{R}} = 2$ là:

${(x - 3)^2} + {(y + 7)^2} + {(z - 1)^2} = 4.{\rm{ }}$

b) Ta có ${\rm{R}} = {\rm{IM}} = \sqrt {{{(3 - ( - 1))}^2} + {{(1 - 4)}^2} + {{(2 - ( - 5))}^2}} = \sqrt {74}$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 1;4; - 5)$ và đi qua điểm $M(3;1;2)$ là:

${(x + 1)^2} + {(y - 4)^2} + {(z + 5)^2} = 74.$

c) Tâm của mặt cầu $({\rm{S}})$ đường kính CD là trung điểm I của đoạn thẳng CD .

Ta có ${x_I} = \frac{{1 + ( - 3)}}{2} = - 1;{y_I} = \frac{{( - 3) + 1}}{2} = - 1;{z_I} = \frac{{( - 1) + 2}}{2} = \frac{1}{2}$. Suy ra $I\left( { - 1; - 1;\frac{1}{2}} \right)$.

Bán kính ${\rm{R}} = {\rm{IC}} = \sqrt {{{(1 - ( - 1))}^2} + {{( - 3 - ( - 1))}^2} + {{\left( { - 1 - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {41} }}{2}$.

Phương trình mặt cầu $({\rm{S}})$ có đường kính là đoạn thẳng CD là: ${(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}.$

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 1;2),\overrightarrow {AC} = (2; - 1; - 1)$.

Xét vectơ $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{ - 1}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = (3;3;3)$.

Khi đó, $\vec n = (3;3;3)$ là một vectơ vuông góc với cá hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$.

b) + Đường thẳng AB đi qua điếm A và nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 1;2)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AB là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.$ (t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thắng AB là $\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}$.

+ Đường thẳng AC đi qua điếm A và nhận vectơ $\overrightarrow {AC} = (2; - 1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AC là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2t}\\{y = 1 - t{\rm{ (t là tham s?)}}{\rm{. }}}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.$

Phương trình chính tắc của đường thắng AC là $\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.

c) Mặt phẳng $({\rm{ABC}})$ đi qua điếm A và nhận vectơ $\overrightarrow {{n^\prime }} = \frac{1}{3}\vec n = (1;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tống quát của mặt phẳng $({\rm{ABC}})$ là:

$1({\rm{x}} - 0) + 1({\rm{y}} - 1) + 1({\rm{z}} - 3) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0.$

d) Thay tọa độ điếm ${\rm{D}}(1;1; - 2)$ vào phương trình mặt phẳng $({\rm{ABC}})$ ta được:

$1 + 1 + ( - 2) - 4 = - 4 \ne 0.{\rm{ }}$

Suy ra điếm D không thuộc mặt phắng (ABC).

Vậy bốn điếm ${\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}},{\rm{D}}$ không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điếm D đến mặt phắng $({\rm{ABC}})$ là:

$d(D,(ABC)) = \frac{{|1 + 1 + ( - 2) - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$

a) Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a = - 4;b = 3;c = - 1;d = - 10$.

Ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 16 + 9 + 1 + 10 = 36 > 0$.

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm $I( - 4;3; - 1)$, bán kính $R = 6$.

b) Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y - 6z + 33 = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a = - \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2};c = 3;d = 33$.

Ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 9 - 33 = - \frac{{47}}{2} < 0$.

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

a) Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a = 0;b = 0$; $c = - 2;d = - 32$.

Ta có $^2 + {b^2} + {c^2} - d = {( - 2)^2} + 32 = 34 > 0$.

Do đó đây là phương trình mặt cầu vớl $1(0;0; - 2)$ và $R = \sqrt {34}$

b) Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với a $=$ $- 1;b = - 1;c = 1;d = 4$.

Có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {( - 1)^2} + {( - 1)^2} + {1^2} - 4 = - 1 < 0$.

Do đó đây không phái là phương trình mặt cầu.

a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu $(S)$ dưới dạng: ${(x - 1)^2} + {[y - ( - 3)]^2} + {(z - 0)^2} = {(\sqrt 5 )^2}$. Vậy mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 3;0)$ và bán kính $R = \sqrt 5$.

b) Ta có $O{I^2} = {(0 - 1)^2} + {(0 + 3)^2} + {(0 - 0)^2} = 10 > 5 = {R^2}$. Do đó, gốc toạ độ $O(0;0;0)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.

a) Mặt cầu $({\rm{S}})$ có tâm $I\left( { - 2;0; - \frac{1}{2}} \right)$ và $R = \frac{3}{2}$

b) Có $IM = \sqrt {{4^2} + {0^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > R$

a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( {\frac{3}{2};0; - 3} \right)$ và có bán kính $R = \frac{9}{4}$ nên có phương trình:

${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(y - 0)^2} + {(z + 3)^2} = {\left( {\frac{9}{4}} \right)^2}{\rm{ hay }}(S):{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = \frac{{81}}{{16}}.$

b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là $J\left( {2;\frac{3}{2};3} \right)$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $J$ và bán kính $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{(3 - 1)}^2} + {{(1 - 2)}^2} + {{(5 - 1)}^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}$. Do đó $(S):{(x - 2)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(z - 3)^2} = \frac{{21}}{4}$.

a) Mặt cầu $({\rm{S}})$ có tâm là gốc tọa độ, bán kính $R = 1$ có phương trình là:

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$

b) Đoạn thẳng AB có trung điểm $J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)$

Mặt cầu $({\rm{S}})$ có: $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 3 + 1)}^2} + {{( - 1 - 2)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$

Mặt cầu (S) có tâm $J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)$ và $R = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$ có phương trình là:

${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(y + 2)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}$

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng: (S): $\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 9} \right) = 16$

Hay (S): ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {4^2}$.

Vậy $(S)$ là mặt cầu có tâm $I(1; - 2;3)$ và bán kính $R = 4$.

Ta viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9 + {z^2} = 25$