5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Hệ thức lượng trong tam giác (Vận dụng ) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Sau 2h, tàu tới C đi được đoạn đường b = 15.2 = 30 ( hải lí )

Sau 2h, tàu tới B đi được đoạn đường c = 15.2 = 40 ( hải lí )

Dựa vào hình vẽ, sau 2h, tàu B và tàu C tạo với điểm xuất phát một tam giác ABC có

$\widehat{\text{A}}$= 60°, b = 30, c = 40 và a = BC.

Áp dụng định lí côsin ta có:

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bccosA

a$^{2}$ = 30$^{2}$ + 40$^{2}$ – 2.30.40.cos60°

a$^{2}$= 1300

a ≈ 36 ( hải lí ).

Vậy đáp án đúng là B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi điểm H là chân tòa nhà. Điểm D là điểm tương ứng trên tòa nhà ngang bằng với vị trí quan sát A. Như vậy $\widehat{\text{ADC}}$ = 90°.

Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể quan sát được đỉnh B và chân C của cột ăng – ten dưới góc 50° và 40° so với phường nằm ngang. Như vậy $\widehat{\text{DAC}}$ = 40° và $\widehat{\text{DAB}}$ = 50°.

Xét tam giác ABD có:$\widehat{\text{ABD}}$ = 180 – $\widehat{\text{ADB}}$– $\widehat{DAB}$ = 180° – 90° – 50° = 40° = $\widehat{\text{ABC}}$ .

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{BAC}$ = 50° – 40° = 10°.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC:

⇒ ⇒ AC ≈ 18,5m

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADC:

$\frac{\text{BC}}{\sin \text{A}}=\frac{\text{AC}}{\sin \text{B}}\Rightarrow \frac{5}{\sin 10^{\circ}}=\frac{\text{AC}}{\sin 40^{\circ}}$⇒ CD ≈ 11,9m

Chiều cao tòa nhà tương ứng với đoạn CH.

$\frac{\text{CD}}{\sin \text{A}}=\frac{\text{AC}}{\sin \text{D}}\Rightarrow \frac{\text{CD}}{\sin 40^{\circ}}=\frac{18{,}5}{\sin 90^{\circ}}\Rightarrow$CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9 ≈ 19m.

Vậy đáp án đúng là B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

b.( b$^{2}$ – a$^{2}$ ) = c.( a$^{2}$ – c$^{2}$)

⟺ b$^{3}$ – a$^{2}$b – a$^{2}$c + c$^{3}$ = 0

⟺ b$^{3}$ + c$^{3}$ – ( a$^{2}$b + a$^{2}$c ) = 0

⟺ ( b + c )( b$^{2}$ – bc + c$^{2}$ ) – a$^{2}$( b + c ) = 0

⟺ ( b + c ) ( b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ – bc ) = 0

b và c là cạnh tam giác nên b + c > 0

⇒ b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ – bc = 0 hay a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – bc

Theo định lí côsin

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bccosA

mà a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – bc ⇒ cosA =$\frac{1}{2}$ ⇒ $\widehat{\text{BAC}}$ = 60°.

Vậy đáp án đúng là D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đặt AB = c, BC = a, AC = b

Theo định lí côsin ta có: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^{2}+{\text{c}}^{2}-{\text{a}}^{2}}{2\text{bc}}$

⇒ cosA = $\frac{{(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})}^{2}+2-3}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}$

⇒ cosA = $\frac{-1}{2}$

⇒ $\widehat{A}$ = 120° hay $\widehat{\text{BAC}}$ = 120°.

Tương tự: cosB = $\frac{{\text{a}}^{2}+{\text{c}}^{2}-{\text{b}}^{2}}{\text{2ac}}$

⇒ cosB = $\frac{{(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})}^{2}+3-2}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}}$

⇒ cosB = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇒ $\widehat{\text{B}}$ = 45° hay $\widehat{ABD}$ = 45°

AD là tia phân giác trong của $\widehat{\text{BAC}}\Rightarrow \widehat{\text{BAD}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{BAC}}$ = 60°.

Xét tam giác ABD: $\widehat{\text{ABD}}+\widehat{BAD}+\widehat{\text{ADB}}$ = 180°

⇒ $\widehat{\text{ADB}}$ = 180° –$\widehat{\text{ABD}}-\widehat{BAD}$= 180° – 60° – 45° = 75°

Vậy đáp án C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đặt AB = c = 4, AC = b = 2$\sqrt{7}$ , BC = a = 6.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC:

b$^{2}$ = a$^{2}$ + c$^{2}$ – 2accosB

⇒ cosB = $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{c}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}{2\text{ac}}$

⇒ cosB = $\frac{1}{2}$

BC = 6 và MC = 2MB ⇒ MC = 4 và MB = 2.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM:

AM$^{2}$ = AB$^{2}$ + BM$^{2}$ – 2.AM.BM.cos $\widehat{\text{ABM}}$

AM$^{2}$ = 4$^{2}$ + 2$^{2}$ – 2.2.4. $\frac{1}{2}$

AM = $2\sqrt{3}$

Vậy đáp án đúng là C.