5 bài tập Toán làm chung công việc (có lời giải)

Ta có $4\frac{4}{5}$ giờ = $\frac{{24}}{5}$ giờ.

Gọi $x$ (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể ($x > 0$) ; $y$ (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể ($y > 0$).

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể.

Hai vòi cùng chảy đầy bể sau $\frac{{24}}{5}$ giờ nên $1$ giờ cả hai cùng chảy được $\frac{5}{{24}}$ bể. Ta có phương trình :

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}$ (1)

Trong $9$ giờ, vòi thứ nhất chảy được $\frac{9}{x}$ bể và $\frac{6}{5}$ giờ, hai vòi cùng chảy được $\frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)$ bể nên ta có phương trình : $\frac{9}{x} + \frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\\\frac{9}{x} + \frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\end{array} \right.$

Đặt $u = \frac{1}{x},\,y = \frac{1}{y}$. Ta có hệ :

$$\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{{24}}\\9u + \frac{6}{5}\left( {u + v} \right) = 1\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{{24}}\\51u + 6v = 5\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{{12}}\\v = \frac{1}{8}\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 8\end{array} \right.$$

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.

Ta có $25\% = \frac{1}{4}$.

Gọi $x$ (giờ) là thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc $\left( {x > 0} \right)$ ; $y$ (giờ) là thời gian người thứ hai hoàn thành xong công việc $\left( {y > 0} \right)$.

Trong 1 giờ người thứ nhất hoàn thành được $\frac{1}{x}$công việc, người thứ hai hoàn thành được $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai người cùng làm công việc trong $16$ giờ thì trong một giờ hai người cùng làm được $\frac{1}{{16}}$ công việc.

Ta có hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $x = 24;y = 48$.

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong $24$ giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong $48$ giờ.

Ta có : $1$ giờ $20$ phút = $80$ phút.

Gọi $x$ (phút) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng một mình đầy bể và $y$ (phút) là thời gian vòi thứ hai chảy riêng một mình đầy bể $\left( {x,\,y > \,0} \right)$.

Trong một phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể và vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{80}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $x = 120,{\rm{ }}y = 240$.

Vậy vòi thứ nhất chảy đầy bể trong $120$ phút ($2$ giờ) và vòi thứ hai chả đầy bể trong $240$ phút ($4$ giờ).

Gọi thời gian để đội một làm một mình xong công việc là $x$ (ngày).

Gọi thời gian để đội hai làm một mình xong công việc là $y$ (ngày).

Một ngày đội một làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Một ngày đội hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\\\frac{6}{x} + \frac{8}{y} = \frac{2}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{45}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{30}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 45\\y = 30.\end{array} \right.\end{array}$

Vậy đội một làm 45 ngày và đội hai làm 30 ngày.

Ta có 4 giờ 48 phút bằng $\frac{{24}}{5}$ giờ.

Gọi thời gian vòi một chảy đầy bể là $x$ giờ $\left( {x > 0} \right)$.

Gọi thời gian vòi hai chảy đầy bể là $y$ giờ $\left( {y > 0} \right)$.

Một giờ vòi một chảy được $\frac{1}{x}$ bể.

Một giờ vòi hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể.

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\\\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{8}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 8\end{array} \right.\end{array}$

Vậy thời gian vòi một chảy đầy bể là 12 giờ và vòi hai chảy đầy bể là 8 giờ.