5 bài tập Tọa độ vectơ (khi biết điểm đầu và điểm cuối) – Trung điểm – Trọng tâm (có lời giải)

a) Từ giả thiết, ta tìm được $\overrightarrow {AB} = (2; - 1; - 2),\overrightarrow {CD} = (1;4; - 1)$. Suy ra: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 4 + ( - 2) \cdot ( - 1) = 0$. Đẳng thức này chứng tỏ $AB \bot CD$.

b) Tính ba cạnh của tam giác BCD:

Vì $\overrightarrow {CD} = (1;4; - 1)$ nên $CD = |\overrightarrow {CD} | = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2$.

Để tính hai cạnh BC và BD, ta áp dụng công thức tính khoảng cách giửa hai điểm và có:

$BC = |\overrightarrow {BC} | = \sqrt {{{(2 - 3)}^2} + {{(1 - 2)}^2} + {{(0 - ( - 4))}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 ;$

$BD = |\overrightarrow {BD} | = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(5 - 2)}^2} + {{( - 1 - ( - 4))}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 .$

Từ ba đẳng thức trên suy ra BCD là tam giác đều.

c) Ta có $\widehat {AMD} = (\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MD} )$.

Vì $M$ là trung điểm của $B C$ nên $M\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}; - 2} \right)$. Suy ra: $\overrightarrow {MA} = \left( { - \frac{3}{2};\frac{3}{2};0} \right){\rm{ v\`a }}\overrightarrow {MD} = \left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2};1} \right){\rm{. }}$

Từ đó ta tính được: $\cos (\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MD} ) = \frac{{ - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{2} + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

Vậy $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MD})={54{,}74}^{^{\circ}}$, hay $\widehat{AMD}\approx {55}^{^{\circ}}$