42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải)

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu ( d , d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) $\vec b = ( - 2; - 1; - 3) = - \vec a$. Do đó $\vec b$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

c) vi $\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

$\text{+)}(\text{d},{\text{d}}^{'})=(\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})\text{nếu}{0}^{^{\circ}}\le (\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})\le {90}^{^{\circ}}$

$+)(d,{d}^{'})={180}^{^{\circ}}-(\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})\text{nếu}{90}^{^{\circ}}<(\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})\le {180}^{^{\circ}}.$ Do đó $\ \mathrm{co}s(d,{d}^{'})=|\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})|=|\cos (\overrightarrow{b},\overrightarrow{{a}^{'}})|$

d) $\cos (d,{d}^{'})=|\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{{a}^{'}})|=\frac{|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{{a}^{'}}|}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{{a}^{'}}|}=\frac{|2\cdot 3+1\cdot 2+3\cdot (-8)|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{3}^{2}}\cdot \sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}+{(-8)}^{2}}}=\frac{16}{7\sqrt{22}}$

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1;2)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.1 + 2.1 + 1.2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{6}$. Suy ra $(d,{d}^{'})\approx {33}^{^{\circ}}{33}^{'}$.

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;2)$ và ${\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$. Suy ra $(d,{d}^{'})\approx {63}^{^{\circ}}{36}^{'}$

c) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;4;10)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0$. Suy ra $(d,{d}^{'})={90}^{^{\circ}}$

a) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;5;4),\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;5; - 4)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot 2 + 5.5 + 4 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {5^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{15}}{{15\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}$. Suy ra $(d,{d}^{'})\approx {71{,}57}^{^{\circ}}$.

b) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;6;6),\overrightarrow {{a^\prime }} = ( - 10; - 10;5)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot ( - 10) + 6 \cdot ( - 10) + 6 \cdot 5|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{{( - 10)}^2} + {{( - 10)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{60}}{{135}} = \frac{4}{9}$. Suy ra $(d,{d}^{'})\approx {63{,}61}^{^{\circ}}$.

c) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1; - 5),\overrightarrow {{a^\prime }} = (1;1;1)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + ( - 5) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt {10} }}$. Suy ra $(\text{d},{\text{d}}^{'})\approx {77{,}83}^{^{\circ}}$.

a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = (2;2;1)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;0;1)$.

Ta có $\sin (d,(P)) = \frac{{|2.1 + 2.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Suy ra $(d,(P))={45}^{^{\circ}}$.

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;2; - 1)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2;4; - 2)$.

Ta có $\sin (d,(P)) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1$. Suy ra $(d,(P))={90}^{^{\circ}}$.

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (3;1; - 2)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (6;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|3 \cdot 6 + 1 \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1$. Suy ra $(\text{d},(\text{P}))={90}^{^{\circ}}$.

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (2;4;2)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}$. Suy ra $(d,(P))\approx {9{,}59}^{^{\circ}}$.

c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (4;4;2)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 0$. Suy ra $(\text{d},(\text{P}))={0}^{^{\circ}}$.

a) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (1;1; - 2),{\vec n^\prime } = (3; - 5;1)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.3 + 1 \cdot ( - 5) + ( - 2) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}$. Suy ra $((P),({P}^{'}))\approx {73}^{^{\circ}}{59}^{'}$.

b) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (1;1;0),{\vec n^\prime } = (0;1;1)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.0 + 1 \cdot 1 + 0.1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$. Suy ra $((P),({P}^{'}))={60}^{^{\circ}}$.

c) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (2;4; - 1),{\vec n^\prime } = (3;5;26)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.3 + 4 \cdot 5 + ( - 1) \cdot 26|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {5^2} + {{26}^2}} }} = 0$. Suy ra $((P),({P}^{'}))={90}^{^{\circ}}$

Trong không gian Oxyz, ta có $C(2;3;0),\overrightarrow {SC} = (2;3; - 2)$; $\overline {BD} = ( - 2;3;0)$.

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là $\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)$.

Ta có $\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}$.

Suy ra $(SC,BD)\approx {70}^{^{\circ}}{21}^{'}$

b) Ta có phương trình mặt phẳng $(SBD)$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$ hay $3x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Mặt phẳng $(SBD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;2;3)$, mặt đáy $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$. Gọi $\alpha$ là góc giũua mặt phẳng $(SBD)$ và mặt đáy.

Ta có $\cos \alpha = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}$. Suy ra $((SBD),(ABCD))\approx {50}^{^{\circ}}{14}^{'}$

c) Gọi $\beta$ là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Ta có $\sin \beta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}$. Suy ra $(SC,(SBD))\approx {18}^{^{\circ}}{4}^{'}$

a) Mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\overrightarrow{n}=(3;7;-1),\overrightarrow{{n}^{'}}=(1;1;-10)\Rightarrow \cos ((P),({P}^{'}))=\frac{|3\cdot 1+7\cdot 1+(-1)\cdot (-10)|}{\sqrt{{3}^{2}+{7}^{2}+{(-1)}^{2}}\cdot \sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{(-10)}^{2}}}=\frac{20}{\sqrt{59}\cdot \sqrt{102}}$

Suy ra ((P), (P')) $\approx {75{,}06}^{^{\circ}}$

b) Mặt phằng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\overrightarrow{n}=(1;-2;1),\overrightarrow{{n}^{'}}=(3;1;-5)\Rightarrow \cos ((P),({P}^{'}))=\frac{|1\cdot 3+(-2)\cdot 1+1\cdot (-5)|}{\sqrt{1+{(-2)}^{2}+{1}^{2}}\cdot \sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}+{(-5)}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{210}}$

Suy ra ((P), (P')) $\approx {73{,}98}^{^{\circ}}$

c) Mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\overrightarrow{n}=(1;0;1),\overrightarrow{{n}^{'}}=(0;3;3)\Rightarrow \cos ((P),({P}^{'}))=\frac{|1.0+0.3+1.3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}\cdot \sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{36}}=\frac{1}{2}$

Suy ra $((P),({P}^{'}))={60}^{^{\circ}}$

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với $O$ trùng với $A$.

Ta có ${A^\prime }(0;0;3),B(1;0;0),A(0;0;0),C(1;5;0),{B^\prime }(1;0;3),D(0;5;0),{C^\prime }(1;5;3)$

a) Đường thẳng AC nhận $\overrightarrow {AC} = (1;5;0)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${\rm{B}}{{\rm{A}}^\prime }$ nhận $\overrightarrow {B{A^\prime }} = ( - 1;0;3)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos \left( {AC,B{A^\prime }} \right) = \frac{{|1.( - 1) + 5.0 + 0.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {65} }}$. Suy ra $(AC,B{A}^{'})\approx {86{,}44}^{^{\circ}}$

b) Ta có $\overrightarrow {B{B^\prime }} = (0;0;3),\overrightarrow {BD} = ( - 1;5;0),\overrightarrow {AC} = (1;5;0),\overrightarrow {A{A^\prime }} = (0;0;3)$

Ta có $\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = ( - 15; - 3;0),\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (15; - 3;0)$.

Mặt phẳng (BB'D'D) nhận $\vec n = - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (5;1;0)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (AA'C'C) nhận $\overrightarrow {{n^\prime }} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (5; - 1;0)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó $\cos \left( {\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right),\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)} \right) = \frac{{|5 \cdot 5 + 1 \cdot ( - 1) + 0.0|}}{{\sqrt {{5^2} + 1} \cdot \sqrt {{5^2} + 1} }} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}$.

c) Ta có $\overrightarrow {A{C^\prime }} = (1;5;3),\quad \overrightarrow {{A^\prime }B} = (1;0; - 3),\overrightarrow {{A^\prime }D} = (0;5; - 3)$, $\left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)$.

Đường thẳng AC ' nhận $\overrightarrow {A{C^\prime }} = (1;5;3)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (A'BD) nhận $\vec n = \left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\sin \left( {A{C^\prime },\left( {{A^\prime }BD} \right)} \right) = \frac{{|1.15 + 5.3 + 3.5|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{45}}{{7\sqrt {185} }}$. Suy ra $(A{C}^{'},({A}^{'}BD))\approx {28{,}21}^{^{\circ}}$

Đường thẳng d có vectơ chí phương là $\vec a = (2;2;1)$

Mặt phắng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;3; - 3)$

$\sin (d,(P)) = \frac{{|2.0 + 2.3 + 1 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{3}{{9\sqrt 2 }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}$. Suy ra $(d,(P))\approx {13{,}63}^{^{\circ}}$

Mặt phả̉ng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;4;4)$

Mặt phẳng $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n^\prime }} = (7;0;7)$ $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|0.7 + 4.0 + 4.7|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{7^2} + {7^2}} }} = \frac{{28}}{{56}} = \frac{1}{2}$

Suy ra $((\text{P}),({\text{P}}^{'}))={60}^{^{\circ}}$

Chọn hệ trục như hình vẽ

$O(0;0;0),B(3;0;0),C(0;1;0),{O^\prime }(0;0;2),{B^\prime }(3;0;2),{C^\prime }(0;1;2){\rm{. }}$

a) Đường thằng ${\rm{B}}{{\rm{O}}^\prime }$ nhận $\overrightarrow {{\rm{B}}{{\rm{O}}^\prime }} = ( - 3;0;2)$ làm vectơ chí phương.

Đường thẳng ${{\rm{B}}^\prime }{\rm{C}}$ nhận $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 3;1; - 2)$ làm vectơ chỉ phương.

$\cos (B{O}^{'},{B}^{'}C)=\frac{|(-3)\cdot (-3)+0.1+2\cdot (-2)|}{\sqrt{{(-3)}^{2}+{2}^{2}}\cdot \sqrt{{(-3)}^{2}+{1}^{2}+{(-2)}^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{182}}$

Hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta$ 'tương ứng có các vectơ chỉ phương $\vec u = (1;1;0),{\bar u^\prime } = (2;2;1)$. Khi đó:

$\cos (Δ,{Δ}^{'})=|\cos (\overrightarrow{u},{\overrightarrow{u}}^{'})|=\frac{|1\cdot 2+1\cdot 2+0\cdot 1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{0}^{2}}\cdot \sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\text{Vay}(Δ,{Δ}^{'})\approx {19{,}5}^{^{\circ}}.$

Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\vec u_1} = (1; - \sqrt 3 ;0)$, ${\vec u_2} = ( - \sqrt 3 ;1;0)$. Ta có:

Suy ra $({Δ}_{1},{Δ}_{2})={30}^{^{\circ}}$

Đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\vec u_1} = (3;2;1),{\vec u_2} = ( - 1;2; - 1)$.

Ta có: ${\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 3 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 1) = 0$. Suy ra ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

Đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$ có vectơ chỉ phương là $\vec u = (2; - 1;2)$.

Các trục tọa độ Ox , Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec i = (1;0;0)$, $\vec j = (0;1;0)$ và $\vec k = (0;0;1)$.

Ta có:

$\begin{matrix}\cos (Δ,\text{Ox})=\frac{|2\cdot 1+(-1)\cdot 0+2\cdot 0|}{\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}+{2}^{2}}\cdot \sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+{0}^{2}}}=\frac{2}{3} \\ \cos (Δ,\text{Oy})=\frac{|2\cdot 0+(-1)\cdot 1+2\cdot 0|}{\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}+{2}^{2}}\cdot \sqrt{{0}^{2}+{1}^{2}+{0}^{2}}}=\frac{1}{3} \\ \cos (Δ,\text{Oz})=\frac{|2\cdot 0+(-1)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}+{2}^{2}}\cdot \sqrt{{0}^{2}+{0}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{2}{3}\end{matrix}$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (A;B;C)$.

Các trục tọa độ Ox , Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec i = (1;0;0)$, $\vec j = (0;1;0)$ và $\vec k = (0;0;1)$.

Ta có:

$\sin (\text{Ox},(\text{P}))=\frac{|1\cdot A+0\cdot B+0\cdot C|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+{0}^{2}}\cdot \sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}+{C}^{2}}}=\frac{|A|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}+{C}^{2}}}$

$\sin (\text{Oy},(\text{P}))=\frac{|0\cdot A+1\cdot B+0\cdot C|}{\sqrt{{0}^{2}+{1}^{2}+{0}^{2}}\cdot \sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}+{C}^{2}}}=\frac{|B|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}+{C}^{2}}}$

$\sin (\text{Oz},(\text{P}))=\frac{|0\cdot A+0\cdot B+1\cdot C|}{\sqrt{{0}^{2}+{0}^{2}+{1}^{2}}\cdot \sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}+{C}^{2}}}=\frac{|C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}+{C}^{2}}}$

a) Hai đường thắng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chí phương lằn lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = (1;\sqrt 3 ;0),\overrightarrow {{u_2}} = (\sqrt 3 ;1;0)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot \sqrt 3 + \sqrt 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0|}}{{\sqrt {{1^2} + {{(\sqrt 3 )}^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Suy ra $({Δ}_{1},{Δ}_{2})={30}^{^{\circ}}$ .

b) Hai đường thắng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chí phương lằn lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = (2;1; - 1),\overrightarrow {{u_2}} = (3;1; - 2)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{14}}$. Suy ra $({Δ}_{1},{Δ}_{2})\approx {11}^{^{\circ}}$ .

c) Hai đường thắng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chí phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = (1;1; - 1)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = ( - 1;3;1)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 1) + 1 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {11} }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{33}}$. Suy ra $({Δ}_{1},{Δ}_{2})\approx {80}^{^{\circ}}$ .

Do $\left( {{{\rm{P}}_1}} \right),\left( {{{\rm{P}}_2}} \right)$ có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = (1;1;2),\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 1;1)$ nên $\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $(({P}_{1}),({P}_{2}))={60}^{^{\circ}}$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = ( - 1;2; - 1)$, mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;1; - 2)$.

Ta có: $\sin (d,(\alpha )) = \frac{{|\vec n \cdot \vec a|}}{{|\vec n| \cdot |\vec a|}} = \frac{{|( - 1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{1}{2}.$

Vậy $(d,(α))={30}^{^{\circ}}$

Mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$ và $\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;0; - 1)$.

Ta có: $\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}}{{|\vec n| \cdot \left| {\overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + ( - 4) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {} 3}}{2}{\rm{. }}$ Vậy $((α),(β))={30}^{^{\circ}}$

a) Ta có: $\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = (a;0;0)$.

Các vectơ $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD}$ lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng SA và CD nên $\cos (SA,CD)=\frac{|\frac{a}{2}\cdot a+0\cdot 0+(-\frac{a\sqrt{3}}{2})\cdot 0|}{\sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2}+{0}^{2}+{(-\frac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}}\cdot \sqrt{{a}^{2}+{0}^{2}+{0}^{2}}}=\frac{\frac{{a}^{2}}{2}}{a\cdot a}=\frac{1}{2}(\text{do}a>0).$

Suy ra $(SA,CD)={60}^{^{\circ}}$

b) Ta có $\overrightarrow{AC}=(-a;a;0)$ .

Xét vecto $[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AC}]=(|\begin{matrix}0 & -\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ a & 0\end{matrix}|;|\begin{matrix}-\frac{a\sqrt{3}}{2} & \frac{a}{2} \\ 0 & -a\end{matrix}|;|\begin{matrix}\frac{a}{2} & 0 \\ -a & a\end{matrix}|)$ $=(\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{2};\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{2};\frac{{a}^{2}}{2})$

Khi đó, $\vec n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

$\text{Ta có}\sin (SD,(SAC))=\frac{|\frac{a}{2}\cdot \frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{2}+a\cdot \frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{2}+(-\frac{a\sqrt{3}}{2})\cdot \frac{{a}^{2}}{2}|}{\sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2}+{a}^{2}+{(-\frac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}}\cdot \sqrt{{(\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{2})}^{2}+{(\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{2})}^{2}+{(\frac{{a}^{2}}{2})}^{2}}}$

$=\frac{\frac{{a}^{3}\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}\cdot {a}^{2}\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{42}}{14}.$ Suy ra $(SD,(SAC))\approx {28}^{^{\circ}}$

a) Ta có: $\overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {O{O^\prime }} = (0;0;3a)$. Suy ra ${x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a$, ${y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a$, tức là ${B^\prime }(2a;0;3a)$.

b) Vì $B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)$ nên mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ có phương trình là

$\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.$

c) Mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3;6;2)$.

Do ${B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)$ nên $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)$, suy ra vectơ $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)$ cùng phương với vectơ $\vec u = ( - 2;1; - 3)$. Vì thế vectơ $\vec u = ( - 2;1; - 3)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${B^\prime }C$. Suy ra sin của góc giữa đường thẳng ${B^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ bằng: