12 bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn có lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Với 0 ≤ t ≤ 12 ta có:

N'(t) = −3t$^{2}$ + 24t, N'(t) = 0 −3t$^{2}$ + 24t = 0 t = 0 (tm) hoặc t = 8 (tm).

Ta có: N(0) = 0, N(8) = 256; N(12) = 0.

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.

b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: N'(t) = −3t$^{2}$ + 24t.

Đặt f(t) = −3t$^{2}$ + 24t, 0 ≤ t 12.

Ta có: f'(t) = −6t + 24, f'(t) = 0 t = 4 (tm).

Có f(0) = 0, f(4) = −3.4$^{2}$ + 24.4 = 48, f(12) = −3.12$^{2}$ + 14.12 = −144.

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi t = 4 (tuần thứ 4).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $p = 15 - \frac{1}{2}q \Leftrightarrow q = 2(15 - p)$.

Thay vào R = pq ta được: R = p.2.(15 – p) = −2p$^{2}$ + 30p.

b) Đặt y = −2p$^{2}$ + 30p.

Tập xác định: D = (0; +∞).

Có y' = −4p + 30 = 0 p = 7,5.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\max }\limits_D y = y(7{,}5) = 112{,}5$.

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = s'(t) = −3t$^{2}$ + 12t.

Có v(t) = 0 −3t$^{2}$ + 12t = 0 t = 0 hoặc t = 4.

Vậy tại thời điểm t = 4 s thì vận tốc của chất điểm bằng 0.

Đáp án đúng là: A

Có v(t) = S'(t) = 3t$^{2}$ +8t; a(t) = v'(t) = 6t + 8.

Thời điểm vận tốc bằng 11 m/s ứng với 3t$^{2}$ +8t = 11 t = 1 (giây).

Gia tốc của vật cần tìm là a(1) = 6 + 8 =14 (m/s$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = s' = −6t$^{2}$ + 48t +9.

Xét hàm số v(t) = −6t$^{2}$ + 48t +9, t [0; 10].

Ta có v'(t) = −12t + 48 = 0 t = 4 (thỏa mãn).

Ta có v(0) = 9; v(4) = 105; v(10) = −111 $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105$.