12 bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn có lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Với 0 ≤ t ≤ 12 ta có:

N'(t) = −3t$^{2}$ + 24t, N'(t) = 0 −3t$^{2}$ + 24t = 0 t = 0 (tm) hoặc t = 8 (tm).

Ta có: N(0) = 0, N(8) = 256; N(12) = 0.

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.

b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: N'(t) = −3t$^{2}$ + 24t.

Đặt f(t) = −3t$^{2}$ + 24t, 0 ≤ t 12.

Ta có: f'(t) = −6t + 24, f'(t) = 0 t = 4 (tm).

Có f(0) = 0, f(4) = −3.4$^{2}$ + 24.4 = 48, f(12) = −3.12$^{2}$ + 14.12 = −144.

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi t = 4 (tuần thứ 4).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $p = 15 - \frac{1}{2}q \Leftrightarrow q = 2(15 - p)$.

Thay vào R = pq ta được: R = p.2.(15 – p) = −2p$^{2}$ + 30p.

b) Đặt y = −2p$^{2}$ + 30p.

Tập xác định: D = (0; +∞).

Có y' = −4p + 30 = 0 p = 7,5.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\max }\limits_D y = y(7{,}5) = 112{,}5$.

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = s'(t) = −3t$^{2}$ + 12t.

Có v(t) = 0 −3t$^{2}$ + 12t = 0 t = 0 hoặc t = 4.

Vậy tại thời điểm t = 4 s thì vận tốc của chất điểm bằng 0.

Đáp án đúng là: A

Có v(t) = S'(t) = 3t$^{2}$ +8t; a(t) = v'(t) = 6t + 8.

Thời điểm vận tốc bằng 11 m/s ứng với 3t$^{2}$ +8t = 11 t = 1 (giây).

Gia tốc của vật cần tìm là a(1) = 6 + 8 =14 (m/s$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = s' = −6t$^{2}$ + 48t +9.

Xét hàm số v(t) = −6t$^{2}$ + 48t +9, t [0; 10].

Ta có v'(t) = −12t + 48 = 0 t = 4 (thỏa mãn).

Ta có v(0) = 9; v(4) = 105; v(10) = −111 $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105$.

Đáp án đúng là: A

a) Ta có v(t) = s'(t) = −t$^{2}$ + 8t + 9 v(3) = 24 m/s.

b) Vật đứng yên khi v(t) = 0 −t$^{2}$ + 8t + 9 = 0 t = −1 (ktm) hoặc t = 9 (tm).

Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm t = 9 là:

$s\left( 9 \right) = - \frac{1}{3}{.9^3} + {4.9^2} + 9.9 = 162$ (m).

c) Có a(t) = v'(t) = −2t + 8.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s$^{2}$.

d) Xét hàm v(t) = −t$^{2}$ + 8t + 9; v'(t) = −2t + 8; v'(t) = 0 t = 4.

Bảng biến thiên của hàm số v(t) = −t$^{2}$ + 8t + 9 với t ∈ [0; 9].

Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].

Đáp án đúng là: B

A. Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: N(7) = 100e$^{0{,}012.7}$ = 100e$^{0{,}084}$ ≈ 108,763 (triệu người)

B. Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: N(12) = 100e$^{0{,}012.12}$ = 100e$^{0{,}144}$ ≈ 115,488 (triệu người)

C. Trên đoạn [0; 50] ta có: N'(t) = 0,012.100.e$^{0{,}012t}$ = 1,2e$^{0{,}012t}$ > 0, ∀t [0; 50].

Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].

D. Ta có: N'(t) = 1,2e$^{0{,}012t}$ .

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:

$1{,}6 = 1{,}2{e^{0{,}012t}} \Leftrightarrow {e^{0{,}012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23{,}97$.

Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.

Đáp án đúng là: C

Gọi x là chiều rộng của đáy thùng, x > 0, đơn vị m.

chiều dài của đáy thùng là: 2x.

Ta có V = x.2x.h = 10 $h = \frac{5}{{{x^2}}}$.

Chi phí làm đáy thùng là: 2x$^{2}$.75 = 150x$^{2}$ (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm diện tích xung quanh là : $\left( {2x.\frac{5}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{5}{{{x^2}}}} \right).55 = \frac{{1650}}{x}$ (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm thùng là : $T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}$ (đơn vị nghìn đồng).

Xét hàm số $T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}$, với x > 0.

Ta có $T'\left( x \right) = 300x - \frac{{1650}}{{{x^2}}}$ ; $T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên T(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}$.

Vậy chi phí ít nhất bằng $T = 150{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}} \right)^2} + \frac{{1650}}{{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}}} \approx 1402000$ đồng.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số N(t) = 1000 + 30t$^{2}$ – t$^{3}$ (0 t 30).

Có N'(t) = 60t – 3t$^{2}$; N'(t) = 0 t = 0 hoặc t = 20.

Ta có bảng biến thiên

Với t = 20 giây thì số vi khuẩn lớn nhất.

Đáp án đúng là: A

Đặt OP = x (0 < x < 4) BP = 4 – x; $AP = \sqrt {4 + {x^2}}$.

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:

${t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}\,\,\left( h \right)\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}$.

${t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 4\\4{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: ${t_{\min }} = \frac{2}{3}\,\left( h \right)\, = \frac{2}{3}.60\,\left( {ph\'u t} \right) = 40\,ph\'u t.$

</></>

Đáp án đúng là: D

Xét $P'\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {t - 1} \right)\left( { - t - 3} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}}$.

$P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 1\end{array} \right.$.

Ta thấy hàm số đạt cực đại tại t = 1 và P'(t) < 0,∀t (1; +∞) nên sau 1 giờ thì vi khuẩn bắt đầu giảm.

Đáp án đúng là: B

Có $S'\left( t \right) = \frac{6}{5}{t^2} - 126t + 3240$; S'(t) = 0 t = 45 (tm) hoặc t = 60 (tm).

Có S(1) = 77,4; S(45) = 51575; S(60) = 50900.

Vậy ngày thứ 45 có lượng gạo xuất khẩu cao nhất.