11 bài tập Hình thang có lời giải

a) Ta có: ${S_{AMCD}} = \frac{{(AM + CD) \times AD}}{2}$ và ${S_{NBCD}} = \frac{{(BN + CD) \times BC}}{2}$

Mà AM = BN và AD = BC nên ${S_{AMCD}} = {S_{NBCD}} \to \frac{{{S_{AMCD}}}}{{{S_{NBCD}}}} = 1$.

b) Theo đề bài ta có: $AM = \frac{1}{3} \times AB$

$\to {S_{AMCD}} = \frac{{(AM + CD) \times AD}}{2} = \frac{{\left( {\frac{1}{3} \times AB + AB} \right) \times AD}}{2} = \frac{2}{3} \times AB \times AD = \frac{2}{3} \times {S_{ABCD}}$

Vậy $\frac{{{S_{AMCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{2}{3}$

Đáp Số: a) 1 b) $\frac{2}{3}$

Ta có:

${S_{ACD}} = {S_{BCD}}$ (chung đáy CD và chiều cao tương ứng bằng chiều cao hình thang ABCD)

${S_{DAB}} = {S_{CAB}}$ (chung đáy AB và chiều cao tương ứng bằng chiều cao hình thang ABCD)

Lại có: ${S_{ACD}} = {S_{EAD}} + {S_{ECD}}$ và ${S_{BCD}} = {S_{EBC}} + {S_{ECD}}$. Suy ra: ${S_{EAD}} = {S_{EBC}}$.

Vậy các cặp tam giác bằng nhau là: ${S_{ACD}} = {S_{BCD}}$; ${S_{DAB}} = {S_{CAB}}$; ${S_{EAD}} = {S_{EBC}}$

Đáp Số: ${S_{ACD}} = {S_{BCD}}$; ${S_{DAB}} = {S_{CAB}}$; ${S_{EAD}} = {S_{EBC}}$

Nối M với N. Ta có: AMND và BMNC là hai hình thang.

Tương tự bài 2, trong hai hình thang AMND và BMNC ta lần lượt có được:

${S_{AED}} = {S_{EMN}}$ và ${S_{BGC}} = {S_{GMN}} \Rightarrow {S_{EMN}} + {S_{GMN}} = {S_{AED}} + {S_{BGC}}$

Mà ${S_{EMN}} + {S_{GMN}} = {S_{MGNE}}$.

Do đó: ${S_{MGNE}} = {S_{AED}} + {S_{BGC}} = 1{,}2 + 3{,}4 = 4{,}6(c{m^2})$

Đáp Số: 4,6 ($c{m^2}$).

Nối A với E; Nối A với C; Nối E với N; Nối N với C.

Ta có:

${S_{ABE}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABC}}$ (chung chiều cao hạ từ A xuống BC và $BE = \frac{1}{3} \times BC$)

${S_{CDN}} = \frac{1}{3} \times {S_{ACD}}$ (chung chiều cao hạ từ C xuống DC và $ND = \frac{1}{3} \times AD$)

Lại có: ${S_{ABC}} + {S_{ACD}} = {S_{ABCD}}$. Suy ra: ${S_{ABE}} + {S_{CDN}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABCD}}$.

Cũng có: ${S_{ABE}} + {S_{AEM}} + {S_{EMN}} + {S_{EGN}} + {S_{CGN}} + {S_{CDN}} = {S_{ABCD}}$.

Suy ra: ${S_{AEM}} + {S_{EMN}} + {S_{EGN}} + {S_{CGN}} = \frac{2}{3} \times {S_{ABCD}}$. (1)

Mặt khác có:

${S_{AEM}} = {S_{EMN}}$ (chung chiều cao hạ từ E xuống AD và AM = MN)

${S_{EGN}} = {S_{CGN}}$ (chung chiều cao hạ từ N xuống BC và EG = GC)

Do đó: ${S_{AEM}} + {S_{CGN}} = {S_{EMN}} + {S_{EGN}}$ (2)

Từ (1) và (2) có: ${S_{EMN}} + {S_{EGN}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABCD}}$

Hay ${S_{MEGN}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \times 108 = 36(c{m^2})$

Đáp Số: 36 ($c{m^2}$)

Ta có: ${S_{MAD}} = {S_{MED}}$ (Chung chiều cao hạ từ M xuống AB và AD = DE)

${S_{EMN}} = {S_{ECN}}$ (chung chiều cao hạ từ E xuống AC và MN = CN)

Do đó: ${S_{MAD}} + {S_{ECN}} = {S_{MED}} + {S_{EMN}} = {S_{DMNE}}$ (1)

Lại có: ${S_{ACE}} = {S_{MAD}} + {S_{ECN}} + {S_{MED}} + {S_{EMN}}$ (2)

Từ (1) và (2) có: ${S_{DMNE}} = \frac{1}{2} \times {S_{ACE}}$ (3)

Cũng có: ${S_{ACE}} = \frac{2}{3} \times {S_{ABC}}$ (chung chiều cao hạ từ C xuống AB và $AE = \frac{2}{3} \times AB$) $\to {S_{ABC}} = \frac{3}{2} \times {S_{ACE}}$ (4)

Từ (3) và (4) có: ${S_{DMNE}} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times {S_{ABC}} = \frac{3}{4} \times {S_{ABC}} \to {S_{ABC}} = \frac{4}{3} \times {S_{DMNE}}$

Do đó: ${S_{ABC}} = \frac{4}{3} \times 12 = 16(c{m^2})$

Đáp Số: 16 $c{m^2}$.