11 bài tập Hình thang có lời giải

a) Ta có: ${S_{AMCD}} = \frac{{(AM + CD) \times AD}}{2}$ và ${S_{NBCD}} = \frac{{(BN + CD) \times BC}}{2}$

Mà AM = BN và AD = BC nên ${S_{AMCD}} = {S_{NBCD}} \to \frac{{{S_{AMCD}}}}{{{S_{NBCD}}}} = 1$.

b) Theo đề bài ta có: $AM = \frac{1}{3} \times AB$

$\to {S_{AMCD}} = \frac{{(AM + CD) \times AD}}{2} = \frac{{\left( {\frac{1}{3} \times AB + AB} \right) \times AD}}{2} = \frac{2}{3} \times AB \times AD = \frac{2}{3} \times {S_{ABCD}}$

Vậy $\frac{{{S_{AMCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{2}{3}$

Đáp Số: a) 1 b) $\frac{2}{3}$

Ta có:

${S_{ACD}} = {S_{BCD}}$ (chung đáy CD và chiều cao tương ứng bằng chiều cao hình thang ABCD)

${S_{DAB}} = {S_{CAB}}$ (chung đáy AB và chiều cao tương ứng bằng chiều cao hình thang ABCD)

Lại có: ${S_{ACD}} = {S_{EAD}} + {S_{ECD}}$ và ${S_{BCD}} = {S_{EBC}} + {S_{ECD}}$. Suy ra: ${S_{EAD}} = {S_{EBC}}$.

Vậy các cặp tam giác bằng nhau là: ${S_{ACD}} = {S_{BCD}}$; ${S_{DAB}} = {S_{CAB}}$; ${S_{EAD}} = {S_{EBC}}$

Đáp Số: ${S_{ACD}} = {S_{BCD}}$; ${S_{DAB}} = {S_{CAB}}$; ${S_{EAD}} = {S_{EBC}}$

Nối M với N. Ta có: AMND và BMNC là hai hình thang.

Tương tự bài 2, trong hai hình thang AMND và BMNC ta lần lượt có được:

${S_{AED}} = {S_{EMN}}$ và ${S_{BGC}} = {S_{GMN}} \Rightarrow {S_{EMN}} + {S_{GMN}} = {S_{AED}} + {S_{BGC}}$

Mà ${S_{EMN}} + {S_{GMN}} = {S_{MGNE}}$.

Do đó: ${S_{MGNE}} = {S_{AED}} + {S_{BGC}} = 1{,}2 + 3{,}4 = 4{,}6(c{m^2})$

Đáp Số: 4,6 ($c{m^2}$).

Nối A với E; Nối A với C; Nối E với N; Nối N với C.

Ta có:

${S_{ABE}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABC}}$ (chung chiều cao hạ từ A xuống BC và $BE = \frac{1}{3} \times BC$)

${S_{CDN}} = \frac{1}{3} \times {S_{ACD}}$ (chung chiều cao hạ từ C xuống DC và $ND = \frac{1}{3} \times AD$)

Lại có: ${S_{ABC}} + {S_{ACD}} = {S_{ABCD}}$. Suy ra: ${S_{ABE}} + {S_{CDN}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABCD}}$.

Cũng có: ${S_{ABE}} + {S_{AEM}} + {S_{EMN}} + {S_{EGN}} + {S_{CGN}} + {S_{CDN}} = {S_{ABCD}}$.

Suy ra: ${S_{AEM}} + {S_{EMN}} + {S_{EGN}} + {S_{CGN}} = \frac{2}{3} \times {S_{ABCD}}$. (1)

Mặt khác có:

${S_{AEM}} = {S_{EMN}}$ (chung chiều cao hạ từ E xuống AD và AM = MN)

${S_{EGN}} = {S_{CGN}}$ (chung chiều cao hạ từ N xuống BC và EG = GC)

Do đó: ${S_{AEM}} + {S_{CGN}} = {S_{EMN}} + {S_{EGN}}$ (2)

Từ (1) và (2) có: ${S_{EMN}} + {S_{EGN}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABCD}}$

Hay ${S_{MEGN}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \times 108 = 36(c{m^2})$

Đáp Số: 36 ($c{m^2}$)

Ta có: ${S_{MAD}} = {S_{MED}}$ (Chung chiều cao hạ từ M xuống AB và AD = DE)

${S_{EMN}} = {S_{ECN}}$ (chung chiều cao hạ từ E xuống AC và MN = CN)

Do đó: ${S_{MAD}} + {S_{ECN}} = {S_{MED}} + {S_{EMN}} = {S_{DMNE}}$ (1)

Lại có: ${S_{ACE}} = {S_{MAD}} + {S_{ECN}} + {S_{MED}} + {S_{EMN}}$ (2)

Từ (1) và (2) có: ${S_{DMNE}} = \frac{1}{2} \times {S_{ACE}}$ (3)

Cũng có: ${S_{ACE}} = \frac{2}{3} \times {S_{ABC}}$ (chung chiều cao hạ từ C xuống AB và $AE = \frac{2}{3} \times AB$) $\to {S_{ABC}} = \frac{3}{2} \times {S_{ACE}}$ (4)

Từ (3) và (4) có: ${S_{DMNE}} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times {S_{ABC}} = \frac{3}{4} \times {S_{ABC}} \to {S_{ABC}} = \frac{4}{3} \times {S_{DMNE}}$

Do đó: ${S_{ABC}} = \frac{4}{3} \times 12 = 16(c{m^2})$

Đáp Số: 16 $c{m^2}$.

Nối B với P; nối N với C.

Ta có: ${S_{AMP}} = \frac{1}{2} \times {S_{ABP}}$ (Chung chiều cao hạ từ P xuống AB và $AM = \frac{1}{2} \times AB$)

Lại có: ${S_{ABP}} = \frac{1}{2} \times {S_{ABC}}$ (Chung chiều cao hạ từ B xuống AC và $AP = \frac{1}{2} \times AC$)

Do đó: ${S_{AMP}} = \frac{1}{4} \times {S_{ABC}} = \frac{1}{4} \times 32 = 8(c{m^2})$

Tương tự ta có:

${S_{CBN}} = \frac{1}{4} \times {S_{ABC}} = \frac{1}{4} \times 32 = 8(c{m^2})$

${S_{CNQ}} = \frac{1}{4} \times {S_{NAC}} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times {S_{ABC}} = \frac{3}{{16}} \times 32 = 6(c{m^2})$

Ta có: ${S_{MPQN}} = {S_{ABCD}} - ({S_{AMP}} + {S_{CBN}} + {S_{CNQ}}) = 32 - (8 + 8 + 6) = 10(c{m^2})$

Vậy ${S_{MPQN}} = 10(c{m^2})$

Đáp Số: 10 $c{m^2}$.

Nối A với G.

Ta có: ${S_{ANG}} = {S_{DNG}}$ (chung đáy NG, chiều cao hạ từ A và D của 2 tam giác xuống NG bằng AE)

$\Rightarrow {S_{ANG}} + {S_{CNG}} = {S_{DNG}} + {S_{CNG}} \Rightarrow {S_{ACG}} = {S_{NDC}}$.

Lại có: GC = DC - DG = DC - AD = 4,5 – 3 = 1,5 (cm)

Suy ra: ${S_{ACG}} = \frac{1}{2} \times AD \times GC = \frac{1}{2} \times 3 \times 1{,}5 = 2{,}25(c{m^2})$

Vậy: ${S_{NDC}} = 2{,}25(c{m^2})$

Đáp Số: 2,25 $c{m^2}$.

Cắt hình tam giác ABM rồi ghép hình được tam giác ADE.

Do đó: ${S_{ABCD}} = {S_{ADE}} = {S_{AMD}} + {S_{MDE}}$.

Có: ${S_{AMD}} = {S_{MDE}}$ (vì AM = ME và chung chiều cao hạ từ D xuống AE)

Do đó: ${S_{MDE}} = 12{,}5(c{m^2})$

Vậy ${S_{ABCD}} = 12{,}5 + 12{,}5 = 25(c{m^2})$

Đáp Số: 25 $c{m^2}$.

Ta có: ${S_{DAB}} = {S_{CAB}}$ (chung đáy AB và chiều cao hạ từ C, D xuống AB bằng chiều cao hình thang ABCD)

$\Rightarrow {S_{ADE}} + {S_{EAB}} = {S_{BCE}} + {S_{EAB}} \Rightarrow {S_{ADE}} = {S_{BCE}} \Rightarrow {S_{BCE}} = 15(c{m^2})$

Ta có: $\frac{{{S_{ABE}}}}{{{S_{ADE}}}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}$ mà hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ A xuống BD.

Do đó: $\frac{{BE}}{{DE}} = \frac{1}{3}$

Mặt khác hai tam giác BCE và CDE có chung chiều cao hạ từ C xuống BD nên có:

$\frac{{{S_{BCE}}}}{{{S_{CDE}}}} = \frac{{BE}}{{DE}} = \frac{1}{3} \to {S_{CDE}} = 3 \times {S_{BCE}} = 3 \times 15 = 45(c{m^2})$

Vậy: ${S_{ABCD}} = {S_{ABE}} + {S_{ADE}} + {S_{BCE}} + {S_{CDE}} = 5 + 15 + 15 + 45 = 80{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$

Đáp Số: 80 cm².

Gọi G, H là lần lượt là điểm giao nhau giữa AB và CE; giữa AD và CF.

Ta có: BE // AC => EBCA là hình thang.

Suy ra: ${S_{EAC}} = {S_{BAC}}$ (chung đáy AC, chiều cao hạ từ E và B xuống AC bằng nhau vì cùng bằng chiều cao hình thang EBCA) (1)

Tương tự ta có: FD // AC => FDCA là hình thang.

Suy ra: ${S_{FAC}} = {S_{DAC}}$ (chung đáy AC, chiều cao hạ từ F và D xuống AC bằng nhau vì cùng bằng chiều cao hình thang FDCA) (2)

Mặt khác:

- ${S_{CEF}} = {S_{FAC}} + {S_{EAC}}$ (3)

- ${S_{ABCD}} = {S_{DAC}} + {S_{BAC}}$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) có: ${S_{CEF}} = {S_{ABCD}}$

Mà ${S_{ABCD}} = 5 \times 5 = 25{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$

Vậy ${S_{CEF}} = 25{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$

Đáp Số: 25 cm².

Ta có:

${S_{ABC}} = {S_{DBC}} = 10 \times 12:2 = 60{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$

${S_{ABD}} = {S_{ACD}} = 20 \times 12:2 = 120{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$ (1)

Từ (1) Suy ra: ${S_{MAB}} = {S_{MCD}}$.

Vì hai tam giác ABD và CBD có chung đáy BD mà ${S_{CBD}} = \frac{1}{2}{S_{ABD}}$. Suy ra, đường cao hạ từ A tới BD gấp 2 lần đường cao hạ từ C tới BD. (2)

Xét hai tam giác MDA và MCD có chung đáy DM và do (2) suy ra:

${S_{MCD}} = \frac{1}{2}{S_{MDA}} = \frac{1}{3}{S_{ACD}} = 120:3 = 40{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$.

Vậy ${S_{MDA}} = 120 - 40 = 80{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$; ${S_{MBC}} = 60 - 40 = 20{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$

Đáp Số: ${S_{MCD}} = 40{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$. ${S_{MDA}} = 80{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$; ${S_{MBC}} = 20{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$