14 bài tập Giải toán liên quan đến tỉ lệ diện tích tam giác có lời giải

${S_{MBCN}} = {S_{BMN}} + {S_{BCN}} = \frac{2}{3} \times {S_{NAB}} + \frac{1}{4} \times {S_{ABC}}$

$= \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times {S_{ABC}} + \frac{1}{4} \times {S_{ABC}} = \frac{3}{4} \times {S_{ABC}} = 180{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$

${S_{ABC}} = 180 \times 4:3 = 240{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$.

Đáp Số: $240{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$

Nối C với G.

Ta có: ${S_{BCE}} = {S_{ACD}}$ (Vì cùng bằng $\frac{1}{2}{S_{ABC}}$)

Mà: ${S_{BCE}} = {S_{GBD}} + {S_{CDGE}}$ và ${S_{ACD}} = {S_{GAE}} + {S_{CDGE}}$

$\Rightarrow {S_{GBD}} = {S_{GAE}} = \frac{1}{2}{S_{GAC}}$ (1)

Cũng có: ${S_{GBD}} = {S_{GCD}}$ (chung chiều cao hạ từ G, đáy $BD = CD$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${S_{GCD}} = \frac{1}{2}{S_{GAC}}$ mà hai tam giác này chung chiều cao hạ từ C nên: $GD = \frac{1}{2}GA$ hay GA gấp đôi GD. (đpcm)

Đáp Số: gấp đôi.

Vì $BP = \frac{1}{2}PA;CQ = \frac{1}{3}QA$ nên có:

${S_{IAP}} = 2 \times {S_{IBP}}$; ${S_{IAQ}} = 3 \times {S_{ICQ}}$;

${S_{IAP}} + {S_{IAQ}} + {S_{IBQ}} = \frac{2}{3} \times {S_{ABC}}$

${S_{IBP}} + {S_{IAP}} + {S_{IAQ}} = \frac{3}{4} \times {S_{ABC}}$

Từ đó có được:

${S_{IBP}} = \frac{1}{6} \times {S_{ABC}};{S_{IAP}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABC}};{S_{IAQ}} = \frac{1}{4} \times {S_{ABC}};{S_{ICQ}} = \frac{1}{{12}} \times {S_{ABC}}$

Vậy: $\frac{{BJ}}{{JC}} = \frac{{{S_{IBJ}}}}{{{S_{ICJ}}}} = \frac{{{S_{IAP}} + {S_{IBP}} + {S_{IBJ}}}}{{{S_{IAQ}} + {S_{ICQ}} + {S_{ICJ}}}} = \frac{{{S_{IAP}} + {S_{IBP}}}}{{{S_{IAQ}} + {S_{ICQ}}}} = \frac{{\frac{1}{3} \times {S_{ABC}} + \frac{1}{6} \times {S_{ABC}}}}{{\frac{1}{4} \times {S_{ABC}} + \frac{1}{{12}} \times {S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{2}$

Đáp Số: $\frac{{BJ}}{{JC}} = \frac{3}{2}$

Vì $MN//BC \Rightarrow MNBC$ là hình thang.

Nối BN, CM

${S_{BCM}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}$ ($BM = 30 - 20 = 10{\rm{ cm, }}\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}$, chung chiều cao hạ từ C)

${S_{BMC}} = {S_{BNC}}$ (chung đáy BC, chiều cao là chiều cao hình thang MNBC)

Mà ${S_{ABC}} = 30 \times 45:2 = 675{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$

$\Rightarrow {S_{BNC}} = 675 \times \frac{1}{3} = 225{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$

Độ dài NC = $225 \times 2:30 = 15{\rm{ cm}}$

Độ dài AN = $45 - 15 = 30{\rm{ cm}}$

${S_{AMN}} = 30 \times 20:2 = 300{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$

Đáp Số: $300{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$.

a) Nối B với E.

Có: ${S_{ABE}} = \frac{1}{5} \times {S_{ABC}}$ (Do chung chiều cao hạ từ B và $AE = \frac{1}{5}AC$)

Và ${S_{ADE}} = \frac{1}{5} \times {S_{ABE}}$ (Do chung chiều cao hạ từ E và $AD = \frac{1}{5}AB$)

Do đó: ${S_{ADE}} = \frac{1}{{25}} \times {S_{ABC}}$

b/ Tương tự phần a tính được: ${S_{BMN}} = {S_{CGH}} = \frac{1}{{25}} \times {S_{ABC}}$

Suy ra: ${S_{ADE}} + {S_{BMN}} + {S_{CGH}} = \frac{3}{{25}} \times {S_{ABC}}$

Suy ra: ${S_{DEHGMN}} = {S_{ABC}} - \frac{3}{{25}} \times {S_{ABC}} = \frac{{22}}{{25}} \times {S_{ABC}}$