10 Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\rm{S}} = 3 + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^3} + {\left( { - 3} \right)^4} + \ldots + {\left( { - 3} \right)^{20}}$

$$\Leftrightarrow {\rm{S}} = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + \ldots + {3^{20}}$$

Nhận xét: Dãy số 3; 3$^{2}$; 3$^{3}$; 3$^{4}$; ... ; 3$^{20}$ là cấp số nhân với số hạng đầu là u$_{1}$ = 3 và công bội q = 3.

Do đó, tổng 20 số hạng của dãy số là: $S = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {3^{20}}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có dãy số (–1); (–1)$^{2}$; (–1)$^{3}$; …; (–1)$^{41}$ là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u$_{1}$ = −1 và công bội q = −1.

Do đó $S = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 - {{( - 1)}^{41}}} \right]}}{{1 - ( - 1)}} = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 + 1} \right]}}{{1 + 1}} = - 1$.

Đáp án đúng là: D

Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.

Ta có: ${S_k} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^k}} \right)}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)$

Theo giả thiết, ta có: $3\left( {{2^{\rm{k}}} - 1} \right) = 189$

$\Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} - 1 = 63 \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} = 64 \Leftrightarrow {\rm{k}} = 6$.

Đáp án đúng là: B

Ta có dãy số $\frac{1}{4}\,;\,\,\frac{1}{{{4^2}}}\,;\,\,\frac{1}{{{4^3}}}\,;\,\, \ldots \,;\,\,\frac{1}{{{4^n}}}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng, với ${u_1} = \frac{1}{4}\,;\,\,q = \frac{1}{4}$.

Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:

${S_n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]$.

Đáp án đúng là: B

Nhận xét: $9\left( {5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots 5} \right)$

$$= 5.\left( {9 + 99 + 999 + 9999 \ldots 9} \right)$$

Do đó: ${{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + . + 555 \ldots 5$

$$= \frac{5}{9}\left( {9 + 99 + 999 + \ldots + 999 \ldots 9} \right)$$

$$= \frac{5}{9} \cdot \left[ {(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + .. + \left( {{{10}^n} - 1} \right)} \right]$$

$$= \frac{5}{9}\left[ {\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + .. + {{10}^n}} \right) - n} \right]$$

$= \frac{5}{9} \cdot \left[ {10 \cdot \frac{{1 - {{10}^n}}}{{1 - 10}} - n} \right] = \frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}$.

Ta có 10 + 10$^{2}$ + 10$^{3}$ + ..+ 10$^{n}$ là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ =10 và công bội q = 10.

Do đó $10 + {10^2} + {10^3} + .. + {10^{\rm{n}}} = \frac{{10 \cdot \left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}}$.