10 Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\rm{S}} = 3 + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^3} + {\left( { - 3} \right)^4} + \ldots + {\left( { - 3} \right)^{20}}$

$$\Leftrightarrow {\rm{S}} = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + \ldots + {3^{20}}$$

Nhận xét: Dãy số 3; 3$^{2}$; 3$^{3}$; 3$^{4}$; ... ; 3$^{20}$ là cấp số nhân với số hạng đầu là u$_{1}$ = 3 và công bội q = 3.

Do đó, tổng 20 số hạng của dãy số là: $S = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {3^{20}}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có dãy số (–1); (–1)$^{2}$; (–1)$^{3}$; …; (–1)$^{41}$ là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u$_{1}$ = −1 và công bội q = −1.

Do đó $S = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 - {{( - 1)}^{41}}} \right]}}{{1 - ( - 1)}} = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 + 1} \right]}}{{1 + 1}} = - 1$.

Đáp án đúng là: D

Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.

Ta có: ${S_k} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^k}} \right)}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)$

Theo giả thiết, ta có: $3\left( {{2^{\rm{k}}} - 1} \right) = 189$

$\Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} - 1 = 63 \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} = 64 \Leftrightarrow {\rm{k}} = 6$.

Đáp án đúng là: B

Ta có dãy số $\frac{1}{4}\,;\,\,\frac{1}{{{4^2}}}\,;\,\,\frac{1}{{{4^3}}}\,;\,\, \ldots \,;\,\,\frac{1}{{{4^n}}}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng, với ${u_1} = \frac{1}{4}\,;\,\,q = \frac{1}{4}$.

Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:

${S_n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]$.

Đáp án đúng là: B

Nhận xét: $9\left( {5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots 5} \right)$

$$= 5.\left( {9 + 99 + 999 + 9999 \ldots 9} \right)$$

Do đó: ${{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + . + 555 \ldots 5$

$$= \frac{5}{9}\left( {9 + 99 + 999 + \ldots + 999 \ldots 9} \right)$$

$$= \frac{5}{9} \cdot \left[ {(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + .. + \left( {{{10}^n} - 1} \right)} \right]$$

$$= \frac{5}{9}\left[ {\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + .. + {{10}^n}} \right) - n} \right]$$

$= \frac{5}{9} \cdot \left[ {10 \cdot \frac{{1 - {{10}^n}}}{{1 - 10}} - n} \right] = \frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}$.

Ta có 10 + 10$^{2}$ + 10$^{3}$ + ..+ 10$^{n}$ là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ =10 và công bội q = 10.

Do đó $10 + {10^2} + {10^3} + .. + {10^{\rm{n}}} = \frac{{10 \cdot \left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}}$.

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{S_n} = 728}\\{{u_n} = 486}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 728}\\{{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 486}\end{array}} \right.} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} - {u_1}{q^n} = 728\left( {1 - q} \right)}\\{{u_1} \cdot {q^n} = 486q}\end{array}} \right.$$

Thay q= 3 vào (*) ta được :

$$\Rightarrow {{\rm{u}}_1} - 486{\rm{q}} = 728\left( {1 - q} \right)$$

${{\rm{u}}_1} - 486.3 = 728.(1 - 3)$$\Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 2$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n\,{\rm{ số \, 7}}}$

$$\Leftrightarrow B = 7\left( {1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số }}\,1}} \right)$$

$$\Leftrightarrow \frac{B}{7} = 1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số\, }}1}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace {{\rm{99}}...{\rm{9 }}}_{n\,{\rm{ số\, 9}}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = (10 - 1) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + \cdots + \left( {{{10}^n} - 1} \right)$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + \cdots + {{10}^n}} \right) - (1 + 1 + \underbrace {......}_{n{\rm{ \,số\, }}1} + 1)$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} - n$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{9}$$

$\Leftrightarrow B = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}$.

Vậy $B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n{\rm{ \,số\, 7}}} = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}$.

Đáp án đúng là: B

Đặt ${v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{{{u_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{1}{3}\;{v_{\rm{n}}}}\\{{v_1} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.$

Suy ra ${\rm{S}} = \sum\limits_1^{10} {\;{v_{\rm{n}}}}$ trong đó là cấp số nhân với công sai ${\rm{q}} = \frac{1}{3}$.

Do đó ${\rm{S}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}$.

Đáp án đúng là: D

Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy là:

$${S_n} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2044$$

$$\Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} - 1 = 511 \Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} = 512 \Leftrightarrow {\rm{n}} = 9.$$

Khi đó: ${S_{18}} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Gọi q là công bội của cấp số nhân.

Theo giả thiết ta có:

$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_4} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_1} \cdot {q^2} = 243{u_1} \cdot {q^7}}\end{array}} \right.} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{q^2} = 243{q^7}}\end{array}} \right.$ (vì ${u_1} \ne 0$)

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{1 = 243{q^5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 1}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.$.

Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:

${S_{20}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]$.