10 Bài tập Tính độ dài của tổng và hiệu hai hay nhiều vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AC}|=AC$.

Xét tam giác ADC vuông tại D (do ABCD là hình vuông) có:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ACD, ta có:

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + CD$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$ ⇔ AC = $a\sqrt{2}$

Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=a\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vẽ hình bình hành ABEC, theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$.

Do ABC là tam giác vuông cân cạnh AB = a nên ABEC là hình vuông cạnh a.

Xét tam giác ABE vuông tại B

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AE$^{2}$ = AB$^{2}$ + BE$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$ ⇔ AE = $a\sqrt{2}$

Vậy $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=CB$.

Xét tam giác ABC vuông tại C

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AB$^{2}$ = BC$^{2}$ + CA$^{2}$

Mà BC = CA nên BC$^{2}$ = CA$^{2}$ = $\frac{A{B}^{2}}{2}$=$\frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{2}$=1

⇔ CB = CA = 1

Vậy $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 4$^{2}$ + 3$^{2}$ = 25 ⇔ BC = 5

Ta có: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow |\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CB}|=CB=5$.

Vậy $|\overrightarrow{u}|=5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Dựng hình bình hành ABDC.

Do tam giác ABC cân có: AB = AC = a nên ABDC là hình thoi cạnh a.

Gọi E là giao điểm hai đường chéo AD và BC của hình thoi.

Có $\widehat{BAC}=120^{\circ}\Rightarrow \widehat{CAE}=60^{\circ}$ (đường chéo của hình thoi cũng là tia phân giác của các góc ở đỉnh).

Xét tam giác AEC vuông tại E (do trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau) có:

$\cos \widehat{CAE}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AE=AC.\cos \widehat{CAE}=a.cos60^{\circ}=\frac{a}{2}$.

Lại có: AD = 2AE = $2.\frac{a}{2}=a$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|=AD=a$.