10 Bài tập Tính độ dài của tổng và hiệu hai hay nhiều vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AC}|=AC$.

Xét tam giác ADC vuông tại D (do ABCD là hình vuông) có:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ACD, ta có:

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + CD$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$ ⇔ AC = $a\sqrt{2}$

Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=a\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vẽ hình bình hành ABEC, theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$.

Do ABC là tam giác vuông cân cạnh AB = a nên ABEC là hình vuông cạnh a.

Xét tam giác ABE vuông tại B

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AE$^{2}$ = AB$^{2}$ + BE$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$ ⇔ AE = $a\sqrt{2}$

Vậy $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=CB$.

Xét tam giác ABC vuông tại C

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AB$^{2}$ = BC$^{2}$ + CA$^{2}$

Mà BC = CA nên BC$^{2}$ = CA$^{2}$ = $\frac{A{B}^{2}}{2}$=$\frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{2}$=1

⇔ CB = CA = 1

Vậy $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 4$^{2}$ + 3$^{2}$ = 25 ⇔ BC = 5

Ta có: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow |\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CB}|=CB=5$.

Vậy $|\overrightarrow{u}|=5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Dựng hình bình hành ABDC.

Do tam giác ABC cân có: AB = AC = a nên ABDC là hình thoi cạnh a.

Gọi E là giao điểm hai đường chéo AD và BC của hình thoi.

Có $\widehat{BAC}=120^{\circ}\Rightarrow \widehat{CAE}=60^{\circ}$ (đường chéo của hình thoi cũng là tia phân giác của các góc ở đỉnh).

Xét tam giác AEC vuông tại E (do trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau) có:

$\cos \widehat{CAE}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AE=AC.\cos \widehat{CAE}=a.cos60^{\circ}=\frac{a}{2}$.

Lại có: AD = 2AE = $2.\frac{a}{2}=a$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|=AD=a$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}$

Dựng hình bình hành CAEH.

Do tam giác ABC đều nên AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

Do đó, AH vuông góc với BC $\Rightarrow \widehat{AHB}=90^{\circ}$.

Mà AE // CH (do CAEH là hình bình hành)

Do đó, AH vuông góc với AE $\Rightarrow \widehat{HAE}=90^{\circ}$.

Vậy AEBH là hình chữ nhật.

Ta có: CH = BH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác CHA vuông tại H

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC$^{2}$ = AH$^{2}$ + CH$^{2}$ ⇔ AH$^{2}$ = AC$^{2}$ – CH$^{2}$ = ${a}^{2}-{(\frac{a}{2})}^{2}=\frac{3{a}^{2}}{4}$ ⇒ $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

⇒ $EB=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (do AEBH là hình chữ nhật)

Xét tam giác CBE vuông tại B

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

CE$^{2}$ = BC$^{2}$ + BE$^{2}$= ${a}^{2}+{(\frac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}=\frac{7}{4}{a}^{2}$ ⇒ $CE=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CE}$.

$\Rightarrow |\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}|=|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}|=|\overrightarrow{CE}|=CE=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{BA}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}|=|\overrightarrow{BA}|=AB=4$.

Vậy $|\overrightarrow{x}|=4$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình vuông ABCD).

Xét tam giác ADC vuông tại D

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$ = (2a)$^{2}$ + (2a)$^{2}$ = 8a$^{2}$ ⇒ AC = $2a\sqrt{2}$

Vậy $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=2a\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CO}$.

Xét tam giác ADC vuông tại D

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$ = 2$^{2}$ + 2$^{2}$ = 8 ⇒ AC = $2\sqrt{2}$

Do ABCD là hình vuông nên ta có: OA = OB = OC = OD = $\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CO}|=CO=\sqrt{2}$.

Theo bài ra ta có $|\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{BC}|=a\sqrt{2}.$

Do đó, $a\sqrt{2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=1$.

Vậy A = 2a$^{2}$ – 5a = 2 . 1$^{2}$ – 5 . 1 = 2 – 5 = – 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$.

Do đó, $|\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{OC}|$ = 0.

Vậy $|\overrightarrow{y}|$ = 0.