10 Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số nhân (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét dãy số (u$_{n}$): $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = \frac{9}{{{u_n}}}\end{array} \right.$ ta có:

$$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{9}{{{u_n}}}:\frac{9}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_n}}} \Rightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = {{\rm{u}}_{{\rm{n}} - 1}}{\rm{ }}\forall n \ge 2.{\rm{ }}$$

Do đó có: u$_{1}$ = u$_{3}$ = u$_{5}$ = … = u$_{2n+ 1}$ = ... (1)

Và u$_{2}$ = u$_{4}$ = u$_{6}$ = ... = u$_{2n}$ = ... (2)

Theo đề bài có ${{\rm{u}}_1} = 3 \Rightarrow {u_2} = \frac{9}{{{u_1}}} = 3 \,\, \left( 3 \right)$

Từ (1), (2) ,(3) suy ra u$_{1}$= u$_{2}$ = u$_{3}$ =...= u$_{2n}$ = u$_{2n+ 1}$ =....

Vậy (u$_{n}$) là cấp số nhân với công bội q = 1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}$

Xét tỉ số: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}:\frac{{10}}{{{8^n}}} = \frac{1}{8}$ (không đổi)

Do đó, dãy số (u$_{n}$) là cấp số nhân với $q = \frac{1}{8}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$.(–1); u$_{3}$ = u$_{2}$.(–1); u$_{4}$ = u$_{3}$.(–1); …

Do đó, dãy số (4) là một cấp số nhân có q = –1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_{n + 1}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 1 + 10}} = {\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)^{n + 11}}$

Xét tỉ số: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 11}}:{\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 10}} = \frac{{ - 1}}{5}{\rm{ }}$ (không đổi)

Do đó, dãy số (u$_{n}$) là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: B

• Xét dãy số u$_{n}$, ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - (n + 1)}}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}$

⇒ $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}:\frac{{{2^n}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - n}}}} = - 6$ (không đổi)

Do đó, dãy (u$_{n}$) là cấp số nhân.

• Xét dãy số w$_{n}$ = 5$^{–n}$, ta có: w$_{n + 1}$= 5$^{– n – 1}$

⇒ w$_{n+1}$ = 5$^{–1}$.w$_{n}$

⇒ (w$_{n}$) là cấp số nhân.