10 Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số nhân (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét dãy số (u$_{n}$): $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = \frac{9}{{{u_n}}}\end{array} \right.$ ta có:

$$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{9}{{{u_n}}}:\frac{9}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_n}}} \Rightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = {{\rm{u}}_{{\rm{n}} - 1}}{\rm{ }}\forall n \ge 2.{\rm{ }}$$

Do đó có: u$_{1}$ = u$_{3}$ = u$_{5}$ = … = u$_{2n+ 1}$ = ... (1)

Và u$_{2}$ = u$_{4}$ = u$_{6}$ = ... = u$_{2n}$ = ... (2)

Theo đề bài có ${{\rm{u}}_1} = 3 \Rightarrow {u_2} = \frac{9}{{{u_1}}} = 3 \,\, \left( 3 \right)$

Từ (1), (2) ,(3) suy ra u$_{1}$= u$_{2}$ = u$_{3}$ =...= u$_{2n}$ = u$_{2n+ 1}$ =....

Vậy (u$_{n}$) là cấp số nhân với công bội q = 1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}$

Xét tỉ số: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}:\frac{{10}}{{{8^n}}} = \frac{1}{8}$ (không đổi)

Do đó, dãy số (u$_{n}$) là cấp số nhân với $q = \frac{1}{8}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$.(–1); u$_{3}$ = u$_{2}$.(–1); u$_{4}$ = u$_{3}$.(–1); …

Do đó, dãy số (4) là một cấp số nhân có q = –1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_{n + 1}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 1 + 10}} = {\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)^{n + 11}}$

Xét tỉ số: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 11}}:{\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 10}} = \frac{{ - 1}}{5}{\rm{ }}$ (không đổi)

Do đó, dãy số (u$_{n}$) là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: B

• Xét dãy số u$_{n}$, ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - (n + 1)}}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}$

⇒ $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}:\frac{{{2^n}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - n}}}} = - 6$ (không đổi)

Do đó, dãy (u$_{n}$) là cấp số nhân.

• Xét dãy số w$_{n}$ = 5$^{–n}$, ta có: w$_{n + 1}$= 5$^{– n – 1}$

⇒ w$_{n+1}$ = 5$^{–1}$.w$_{n}$

⇒ (w$_{n}$) là cấp số nhân.

Ta có: v$_{n}$ = u$_{n}$+ 3 ( 1) nên v$_{n + 1}$ = u$_{n + 1}$ + 3 (2).

Theo đề bài: u$_{n + 1}$= 4u$_{n}$ + 9 ⇒ u$_{n + 1}$ + 3 = 4u$_{n}$ + 9 + 3 = 4(u$_{n}$ + 3) (3)

Thay (1) và (2) vào (3) được: v$_{n + 1}$ = 4v$_{n}$ ∀n ≥ 1

$\Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = 4$ (không đổi).

Vậy (v$_{n}$) là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v$_{1}$ = u$_{1}$ + 3 = 5.

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số: 128; –64; 32; –16; 8; …

Có: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = ... = \frac{1}{2}$ là một số không đổi.

Suy ra dãy số 128; –64; 32; –16; 8; … là một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: D

Xét dãy số: $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...$

Có: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\left( {\frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}}} \right)$.

Do đó: $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...$ không là một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: A

• Với ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}$, ta có: $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{3^{n - 3}}}}:\frac{1}{{{3^{n - 2}}}} = 3$ là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}$ là một cấp số nhân.

• Với ${u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}$, ta có: $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: ${u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}$ không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ = (n + 2).3$^{n}$, ta có: $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ 3}}} \right){{.3}^{n + 1}}}}{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){{.3}^n}}} = \frac{{3(n + 3)}}{{n + 2}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = (n + 2).3$^{n}$ không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ = n$^{2}$, ta có: $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ 1}}} \right)}^2}}}{{{n^2}}} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^2}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = n$^{2}$ không là một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: D

• Với u$_{n}$ = 7 – 3n, ta có:

$q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{7 - 3\left( {n + 1} \right)}}{{7 - 3n}} = \frac{{4 - 3n}}{{7 - 3n}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát u$_{n}$ = 7 – 3n không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ = 7 – 3$^{n}$, ta có:

$q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{7 - {3^{n + 1}}}}{{7 - {3^n}}} = 1 - \frac{{{{2.3}^n}}}{{7 - {3^n}}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = 7 – 3$^{n}$ không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ =$\frac{7}{{3n}}$, ta có:

$q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{7}{{3\left( {n + 1} \right)}}:\frac{7}{{3n}} = \frac{n}{{n + 1}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = $\frac{7}{{3n}}$không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ = 7.3$^{n}$, ta có:

$q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{7.3}^{n + 1}}}}{{{{7.3}^n}}} = 3$ là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = 7.3$^{n}$ là một cấp số nhân.