Giải SBT Toán 11 CTST Bài 3. Cấp số nhân có đáp án

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là:

${u}_{n}={u}_{1}\cdot {q}^{n-1}=3\cdot {(\frac{2}{3})}^{n-1}=\frac{3\cdot {2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}=\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-2}}$.

Ta có: u$_{5}$ = u$_{1}$.q$^{4}$ = u$_{2}$.q$^{3}$

Suy ra ${q}^{3}=\frac{{u}_{5}}{{u}_{2}}=\frac{16}{\frac{1}{4}}=64$ nên q = 4

Do đó ${u}_{1}=\frac{{u}_{2}}{q}=\frac{\frac{1}{4}}{4}=\frac{1}{16}$.

Vậy q = 4 và ${u}_{1}=\frac{1}{16}.$

Ta có: u$_{n}$ = u$_{1}$.q$^{n‒1}$ nên 1.2$^{n‒1}$ = 1 024 suy ra 2$^{n-1}$ = 2$^{10}$

Suy ra n = 11

Vậy số 1 024 là số hạng thứ 11 của cấp số nhân đó.

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1 và công bội là q. Theo giả thiết, ta có:

$\{\begin{matrix}{u}_{5}-{u}_{2}=78 \\ {u}_{6}-{u}_{3}=234\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}\cdot {q}^{4}-{u}_{1}\cdot q=78 \\ {u}_{1}\cdot {q}^{5}-{u}_{1}\cdot {q}^{2}=234\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}\cdot q\cdot ({q}^{3}-1)=78 \\ {u}_{1}\cdot {q}^{2}\cdot ({q}^{3}-1)=234\end{matrix}$

Suy ra $\frac{1}{q}=\frac{78}{234}=\frac{1}{3},$ do đó q = 3.

Với q = 3 thì u1.3.(33 – 1) = 78, suy ra u1 = 1.

Vậy u1 = 1 và q = 3.