Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Tích phân có đáp án

Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.

a) Tính S(3).

b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.

c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = e$^{x}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 (Hình 4).

Tính các tích phân sau:

a) $\int _{1}^{3}2xdx$; b) $\int _{0}^{π}\sin tdt$; c) $\int _{0}^{\ln 2}{e}^{u}du$.

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ $v(t)=2t-0{,}03{t}^{2}(0\le t\le 10)$, trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát.

a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 10.

a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x$^{5}$. Từ đó, tính $\int _{0}^{2}6{x}^{5}dx$.

b) Tính $J=\int _{0}^{2}{x}^{5}dx$.

c) Có nhận xét gì về giá trị của I và 6J.

Tính các tích phân sau:

a) $\int _{-1}^{1}4{x}^{7}dx$; b) $\int _{-2}^{-1}\frac{-3}{10x}dx$; c) $\int _{0}^{2}\frac{{5}^{x-1}}{2}dx$.

a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x$^{2}$ + e$^{x}$. Từ đó, tính $\int _{0}^{1}({x}^{2}+{e}^{x})dx$.

b) Tính $\int _{0}^{1}{x}^{2}dx+\int _{0}^{1}{e}^{x}dx$.

c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?

Tính các tích phân sau:

a) $\int _{1}^{2}\frac{x-1}{{x}^{2}}dx$; b) $\int _{0}^{π}(1+2{\sin }^{2}\frac{x}{2})dx$; c) $\int _{-2}^{1}{(x-2)}^{2}dx+\int _{-2}^{1}(4x-{x}^{2})dx$.

Tính:

a) $\int _{-1}^{\frac{1}{2}}(4{x}^{3}-5)dx-\int _{1}^{\frac{1}{2}}(4{x}^{3}-5)dx$; b) $\int _{0}^{3}|x-1|dx$; c) $\int _{0}^{π}|\cos x|dx$.

Biết rằng tốc độ v (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian t (phút) như sau: $v(t)=\{\begin{matrix}0{,}5t,\ 0\le t<2, \\ 1,\ 2\le t<15, \\ 4-0{,}2t,\ 15\le t\le 20.\end{matrix}$

Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y = x$^{2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (Hình 7);

b) Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (Hình 8).

Tính các tích phân sau:

a) $\int _{1}^{2}{x}^{4}dx$; b) $\int _{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$; c) $\int _{0}^{\frac{π}{4}}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$; d) $\int _{0}^{2}{3}^{x}dx$.

Tính các tích phân sau:

a) $\int _{-2}^{4}(x+1)(x-1)dx$; b) $\int _{1}^{2}\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}dx$;

c) $\int _{0}^{\frac{π}{2}}(3\sin x-2)dx$; d) $\int _{0}^{\frac{π}{2}}\frac{{\sin }^{2}x}{1+\cos x}dx$.

Tính các tích phân sau

a) $\int _{-2}^{1}|2x+2|dx$; b) $\int _{0}^{4}|{x}^{2}-4|dx$; c) $\int _{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}|\sin x|dx$.

Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở 150°C. Biết rằng nhiệt độ T(°C) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách x (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và ${T}^{'}(x)=-\frac{30}{x}(6\le x\le 8)$.

(Nguồn: Y.A.Cengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, McGraw Hill, 2015)

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức: $v(t)=\{\begin{matrix}t,\ 0\le t\le 2, \\ 2,\ 2<t\le 20, \\ 12-0{,}5t,\ 20<t\le 24.\end{matrix}$

Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.