23 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến tích phân (có lời giải)

Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức: $v(t) = 20 - 5t,{\rm{ }}(0 \le t \le 4).$

a) Kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó.

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ $v\left( t \right) = 2t - 0{,}03{t^2},\left( {0{\rm{ }} \le t < 10} \right)$, trong đó v(t) tinh theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát.

a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t =10.

Sau khi được thả rơi tự do từ độ cao 100 m, một vật rơi xuống với tốc độ v(t)=10t (m/s), trong đó t là thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.

a) Tính quãng đường s(t) vật di chuyển được sau thời gian t giây (trong khoảng thời gian vật đang rơi).

b) Sau bao nhiêu giây thì vật chạm đất? Tính tốc độ rơi trung bình của vật.

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 (m/s) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động với vận tốc v(t) = −5t + 20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh.

a) Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển thêm một quãng đường dài bao nhiêu mét?

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó.

a) Cho một vật chuyển động với vận tốc $y = v(t)$ $({\rm{m}}/{\rm{s}})$. Cho $0 < {\rm{a}} < {\rm{b}}$ và ${\rm{v}}({\rm{t}}) > 0$ với mọi ${\rm{t}} \in [{\rm{a}};{\rm{b}}]$. Hãy giải thích vì sao $\int_a^b v (t)dt$ biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến ${\rm{b}}({\rm{a}},{\rm{b}}$ tính theo giây).

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 2 - \sin t(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})$. Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 0$ (giây) đến thời điểm $t = \frac{{3\pi }}{4}$ (giây).

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là $v(t) = {t^2} - t - 6$ (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$, tức là tính $\int\limits_1^4 {v(t)dt}$.

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính $\int\limits_1^4 {\left| {v(t)} \right|dt}$.

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức: $P'\left( x \right) = - 0{,}0005x + 12{,}2$. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm.

a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm.

b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm.

Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau $\left( {{{\rm{x}}_0};{{\rm{P}}_0}} \right)$ của đồ thị hàm cầu ${\rm{p}} = {\rm{D}}({\rm{x}})$ và đồ thị hàm cung p $= {\rm{S}}({\rm{x}})$ được gọi là điểm cân bằng.

Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang ${\rm{p}} = {{\rm{p}}_0}$ và đường thẳng đứng ${\rm{x}} = 0$ là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang ${\rm{p}} = {{\rm{p}}_0}$ và đường thẳng đứng $x = 0$ được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, ${8^{{\rm{th }}}}$ edition, Cengage Learning, 2009).

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: $p = - 0{,}36x + 9$ và hàm cung: $p = 0{,}14x + 2$, trong đó $x$ là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình vẽ. Khí bên trong ống được duy trì ở 150 $^{\circ}C$. Biết rằng nhiệt độ $T(^{\circ}C)$ tại điềm ${\rm{A}}$ trên thành ống là hàm số của khoảng cách $x(\;{\rm{cm}})$ từ ${\rm{A}}$ đến tâm của mặt cắt và ${T^\prime }(x) = - \frac{{30}}{x}\quad (6 \le x \le 8).$

(Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, Mc Graw Hill, 2015)

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Một vật chuyển động được cho bởi đồ thị như hình bên.

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

Ở nhiệt độ 370C, một phản ứng hóa học từ chất A, chuển hóa thành sản phầm B theo phương trình phản ứng $A \to B$. Giả sử y(x) là nồng độ chất A ( đơn vị mol L-1) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với $x \ge 0$, thỏa mãn hệ thức $y'(x) = - {7.10^{ - 4}}y(x)$ với mọi $x \ge 0$. Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol L-1.

a) Xét hàm số f(x) = lny(x) với $x \ge 0$. Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L-1) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với $0 < a < b$ theo công thức $\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f(x)dx}$. Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.