Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Tích phân có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Xe dừng khi v(t) = 20 – 5t = 0 Û t = 4.

Quãng đường xe di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng là:

$s=\int _{0}^{4}v(t)dt=\int _{0}^{4}(20-5t)dt={(20t-\frac{5{t}^{2}}{2})|}_{0}^{4}=40$ (m).

a)

Gọi A(1; 0), B(3; 0), C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(3; 4), D(1; 2).

Ta có S(3) là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy bé AD = 2; đáy lớn BC = 4 và đường cao AB = 2.

Do đó $S\left( 3 \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4} \right).2}}{2} = 6$.

b)

Tương tự như câu a, ta có A(1; 0), B(x; 0), C(x; x + 1), D(1; 2).

Ta có S(x) là diện tích hình thang ABCD với đáy bé AD = 2, đáy lớn BC = x + 1 và đường cao AB = x – 1.

Do đó $S\left( x \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}$, x ≥ 1.

c) Có $S'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}} \right)^\prime } = \frac{{2x + 2}}{2} = x + 1 = f\left( x \right)$.

Do đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên

$F\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C}$.

Do đó $F\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{2} + 3 + C = \frac{{15}}{2} + C$; $F\left( 1 \right) = \frac{{{1^2}}}{2} + 1 + C = \frac{3}{2} + C$.

Suy ra $F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{{15}}{2} + C - \left( {\frac{3}{2} + C} \right) = 6 = S\left( 3 \right)$.

Để tính S(3), ta cần tìm nguyên hàm F(x) của f(x) và tính S(3) = F(3) – F(1).

Ta có hàm số y = e$^{x}$ liên tục, dương trên đoạn [0; 1] .

Ta có $\int {e}^{x}dx={e}^{x}+C$. Suy ra một nguyên hàm của hàm số y = e$^{x}$ là F(x) = e$^{x}$.

Do đó diện tích hình thang cong cần tính là:

S = F(1) – F(0) = e – 1.

Ta có $\int (2x-1)dx={x}^{2}-x+C$.

Giả sử F(x) = x$^{2}$ – x; G(x) = x$^{2}$ – x + 1 là hai nguyên hàm của f(x).

Ta có F(3) – F(0) = 6; G(3) – G(0) = 7 – 1 = 6.

Do đó F(3) – F(0) = G(3) – G(0).

a) $\int\limits_1^3 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_1^3 = 9 - 1 = 8$.

b) $\int\limits_0^\pi {\sin tdt} = \left. { - {\mathop{\rm cost}\nolimits} } \right|_0^\pi = 1 + 1 = 2$.

c) $\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du}$$= \left. {{e^u}} \right|_0^{\ln 2}$$= {e^{\ln 2}} - {e^0} = 2 - 1 = 1$.

a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là:

$s\left( t \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)} dt = \int\limits_0^5 {\left( {2t - 0{,}03{t^2}} \right)} dt$$= \left. {\left( {{t^2} - 0{,}01{t^3}} \right)} \right|_0^5$$= 23{,}75$ m.

Quãng đường xe đi được sau 10 giây là:

$s\left( t \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)} dt = \int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0{,}03{t^2}} \right)} dt$$= \left. {\left( {{t^2} - 0{,}01{t^3}} \right)} \right|_0^{10} = 90$ m.

b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 10 là:

$\frac{1}{{10 - 0}}\int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt}$$= \frac{1}{{10}}\int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0{,}03{t^2}} \right)dt}$$= \left. {\frac{1}{{10}}\left( {{t^2} - 0{,}01{t^3}} \right)} \right|_0^{10} = 9$ m/s.

a) Ta có $\int {6{x^5}dx} = {x^6} + C$.

Do đó F(x) = x$^{6}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 6x$^{5}$.

Ta có $\int\limits_0^2 {6{x^5}dx} = \left. {{x^6}} \right|_0^2 = 64$.

b) $J = \int\limits_0^2 {{x^5}dx} = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}} \right|_0^2 = \frac{{64}}{6}$.

c) Ta có I = 6J = 64.

a) $\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx}$$= 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^7}dx}$$= \left. {\frac{{{x^8}}}{2}} \right|_{ - 1}^1$$= \left. {\frac{{{x^8}}}{2}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

b) $\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx}$$= - \frac{3}{{10}}\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{1}{x}dx}$$= \left. { - \frac{3}{{10}}\ln \left| x \right|} \right|_{ - 2}^{ - 1}$$= \frac{3}{{10}}\ln 2$.

c) $\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}} dx$$= \frac{1}{{10}}\int\limits_0^2 {{5^x}} dx$$= \left. {\frac{1}{{10}}.\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right|_0^2$$= \frac{{24}}{{10\ln 5}}$.

a) Ta có $\int {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx = } \int {{x^2}dx + \int {{e^x}dx = } } \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C$.

$F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x$^{2}$ + e$^{x}$.

Ta có $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}} \right)} \right|_0^1$$= \frac{1}{3} + e - 1 = e - \frac{2}{3}$.

b) $\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx}$$= \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 + \left. {{e^x}} \right|_0^1$$= \frac{1}{3} + e - 1 = e - \frac{2}{3}$.

c) Ta có $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx}$$= e - \frac{2}{3}$.

a) $\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}dx}$$= \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}$$= \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} - \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2}}}dx}$

$= \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^2 + \left. {\frac{1}{x}} \right|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 + \frac{1}{2} - 1 = \ln 2 - \frac{1}{2}$.

b) $\int\limits_0^\pi {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx}$$= \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)dx}$$= \int\limits_0^\pi {2dx} - \int\limits_0^\pi {\cos xdx}$

$= \left. {2x} \right|_0^\pi - \left. {\sin x} \right|_0^\pi = 2\pi$.

c) $\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} dx + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx}$$= \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + \left( {4x - {x^2}} \right)} \right]} dx$

$= \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{x^2} - 4x + 4 + \left( {4x - {x^2}} \right)} \right]} dx$$= \int\limits_{ - 2}^1 4 dx$$= \left. {4x} \right|_{ - 2}^1$$= 12$.

Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán x sản phẩm trong tuần là:

$P\left( x \right) = \int {\left( {16 - 0{,}02x} \right)dx}$ $= 16x - 0{,}01{x^2} + C$

Vì P(0) = −25 nên 16.0 – 0,01.0$^{2}$ + C = −25 Þ C = −25.

Do đó P(x) = −0,01x$^{2}$ + 16x – 25.

Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần là:

P(90) = −0,01.90$^{2}$ + 16.90 – 25 = 1334 triệu đồng.

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^2 {2xdx}$$= \left. {{x^2}} \right|_0^2$$= 4$.

$\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {2xdx}$$= \left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2$$= 1 + 4 - 1 = 4$.

Do đó $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$.

a) $\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx}$

$= \left. {\left( {{x^4} - 5x} \right)} \right|_{ - 1}^1$$= - 4 - 6 = - 10$.

b) $\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( {x - 1} \right)dx}$

$= \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^3$$= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

c) $\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x} \right|dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos xdx}$

$= \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi$$= 1 + 1 = 2$.

Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là:

$s\left( t \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)} dt = \int\limits_0^2 {0{,}5tdt + \int\limits_2^{15} {dt} } + \int\limits_{15}^{20} {\left( {4 - 0{,}2t} \right)dt}$

$= \left. {0{,}25{t^2}} \right|_0^2 + \left. t \right|_2^{15} + \left. {\left( {4t - 0{,}1{t^2}} \right)} \right|_{15}^{20}$

= 1 + 15 – 2 + 40 – 37,5

= 16,5 km.

a) Vì y = x$^{2}$ liên tục và không âm trên [0; 2] nên ta có:

$S = \int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}$.

b) Vì $y = \frac{1}{x}$ liên tục và không âm trên [1; 3] nên ta có:

$S = \int\limits_1^3 {\frac{1}{x}dx} = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3$.

a) $\int\limits_1^2 {{x^4}dx}$$= \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_1^2 = \frac{{32}}{5} - \frac{1}{5} = \frac{{31}}{5}$.

b) $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx}$$= \int\limits_1^2 {{x^{\frac{{ - 1}}{2}}}dx}$$= \left. {2\sqrt x } \right|_1^2 = 2\sqrt 2 - 2$.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}$$= \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$= 1.

d) $\int\limits_0^2 {{3^x}dx}$$= \left. {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^2$$= \frac{9}{{\ln 3}} - \frac{1}{{\ln 3}} = \frac{8}{{\ln 3}}$.

a) $\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx}$$= \int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x^2} - 1} \right)dx}$$= \int\limits_{ - 2}^4 {{x^2}dx} - \int\limits_{ - 2}^4 {dx}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_{ - 2}^4$$= \frac{{52}}{3} + \frac{2}{3} = \frac{{54}}{3} = 18$.

b) $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx}$$= \int\limits_1^2 {\left( {x + \frac{1}{x} - 2} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| - 2x} \right)} \right|_1^2$

$= - 2 + \ln 2 + \frac{3}{2} - \ln 1 = \ln 2 - \frac{1}{2}$.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx}$$= 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx}$$= \left. {\left( { - 3\cos x - 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$$= - \pi + 3$.

d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}$

$= \left. {\left( {x - \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$$= \frac{\pi }{2} - 1$.

a) $\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {2x + 2} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx}$$= - 2\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)dx} + 2\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx}$

$= \left. { - \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} + \left. {\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1$$= 1 + 3 + 1 = 5$.

b) $\int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}$$= \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + \int\limits_2^4 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}$$= \int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^4 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx}$

$= \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^4$$= \frac{{16}}{3} + \frac{{16}}{3} + \frac{{16}}{3} = 16$.

c) $\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx}$$= \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\left| {\sin x} \right|dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx}$$= - \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\sin xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}$

$= \left. {\cos x} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^0 - \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$$= 1 + 1 = 2$.

Nhiệt độ tại điểm A trên thành ống là

$T\left( x \right) = \int { - \frac{{30}}{x}} dx = - 30\ln \left| x \right| + C$.

Vì T(6) = 150°C nên −30ln6 + C = 150 Þ C = 150 + 30ln6.

Do đó T(x) = −30ln|x| + 150 + 30ln6.

Nhiệt độ ngoài mặt ống là T(8) = −30ln8 + 150 + 30ln6 ≈ 141,37°C.

Quãng đường chuyển động của thang máy là:

$s = \int\limits_0^{24} {v\left( t \right)dt}$$= \int\limits_0^2 {tdt} + 2\int\limits_2^{20} {dt} + \int\limits_{20}^{24} {\left( {12 - 0{,}5t} \right)dt}$

$= \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^2 + \left. {\left( {2t} \right)} \right|_2^{20} + \left. {\left( {12t - \frac{1}{4}{t^2}} \right)} \right|_{20}^{24}$

$= 2 + 40 - 4 + 144 - 140$ = 42 m.

Tốc độ trung bình của thang máy là:${v_{tb}} = \frac{s}{{24}} = \frac{{42}}{{24}} = 1{,}75$(m/s).