Giải SGK Toán 12 Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Gọi x (x > 0) là số lần giảm giá vé. Khi đó giá vé sau khi giảm là 100 – 10x (nghìn đồng).

Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 3000x khán giả.

Do đó tổng số khán giả đến xem là 27000 + 3000x.

Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên 27000 + 3000x £ 55 000 $\Leftrightarrow x\le \frac{28}{3}.$

Doanh thu từ tiền bán vé là:

y = (27000 + 3000x).(100 – 10x) = −30 000x$^{2}$ + 30 000x + 2 700 000.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y = −30 000x$^{2}$ + 30 000x + 2 700 000, x > 0.

Tập xác định D = (0; +∞).

Có y' = −60 000x + 30 000; y' = 0 $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng thì doanh thu tiền bán vé là lớn nhất.

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau t giây là

${P}^{'}(t)=\frac{50t({t}^{2}+1)-2t(25{t}^{2}+125)}{{({t}^{2}+1)}^{2}}=\frac{-200t}{{({t}^{2}+1)}^{2}}$.

${P}^{'}(5)=\frac{-200.5}{{({5}^{2}+1)}^{2}}=-\frac{250}{169}$

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là giảm $\frac{250}{169}$.

Gọi độ dài đoạn CD là x (km, 0 ≤ x ≤ 8).

Khi đó độ dài quãng đường AD là $\sqrt{9+{x}^{2}}$ (km).

Thời gian đi hết quãng đường AD là: $\frac{\sqrt{9+{x}^{2}}}{6}(h)$.

Độ dài quãng đường BD là 8 – x (km).

Thời gian đi hết quãng đường BD là: $\frac{8-x}{8}$ (h).

Thời gian người đó đi đến B bằng cách chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B là $\frac{\sqrt{9+{x}^{2}}}{6}+\frac{8-x}{8}(h)$.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\sqrt{9+{x}^{2}}}{6}+\frac{8-x}{8}(0\le x\le 8)$.

Có ${y}^{'}=\frac{x}{6\sqrt{9+{x}^{2}}}-\frac{1}{8}$;

${y}^{'}=0\Leftrightarrow \frac{x}{6\sqrt{9+{x}^{2}}}-\frac{1}{8}=0$'

$\Leftrightarrow 8x=6\sqrt{9+{x}^{2}}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\ge 0 \\ 64{x}^{2}=36(9+{x}^{2})\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\ge 0 \\ 28{x}^{2}=324\end{matrix}$

$\Leftrightarrow x=\frac{9\sqrt{7}}{7}$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy anh An phải chèo thuyền đến điểm D cách C một đoạn $\frac{9\sqrt{7}}{7}$ km thì sẽ đến B sớm nhất.

a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó ta cần xác định hàm cầu p = p(x).

Theo giả thiết tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất. Do đó p(x) = ax + b (a ≠ 0).

Theo đề có: x$_{1}$ = 1000 thì p$_{1}$ = 14; x$_{2}$ = 1100 thì p$_{2}$ = 13,5.

Khi đó phương trình đường thẳng p(x) = ax + b đi qua hai điểm (1000; 14) và (1100; 13,5) nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}1000a+b=14 \\ 1100a+b=13{,}5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=-\frac{1}{200} \\ b=19\end{matrix}$.

Vậy $p=-\frac{1}{200}x+19$.

b) Vì $p=-\frac{1}{200}x+19$ nên x =− 200p + 3800.

Khi đó tổng doanh thu từ tiền bán ti vi là

R(p) = x.p = (−200p + 3800).p = −200p$^{2}$ + 3800p.

Bài toán trở thành tìm p để R(p) đạt giá trị lớn nhất.

Có R'(p) = −400p + 3800; R'(p) = 0 Û p = 9,5.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy công ty giảm giá 14 – 9,5 = 4,5 triệu đồng cho người mua thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.