Bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = s'(t) = −3t$^{2}$ + 12t.

Có v(t) = 0 −3t$^{2}$ + 12t = 0 t = 0 hoặc t = 4.

Vậy tại thời điểm t = 4 s thì vận tốc của chất điểm bằng 0.

Đáp án đúng là: A

Có v(t) = S'(t) = 3t$^{2}$ +8t; a(t) = v'(t) = 6t + 8.

Thời điểm vận tốc bằng 11 m/s ứng với 3t$^{2}$ +8t = 11 t = 1 (giây).

Gia tốc của vật cần tìm là a(1) = 6 + 8 =14 (m/s$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = s' = −6t$^{2}$ + 48t +9.

Xét hàm số v(t) = −6t$^{2}$ + 48t +9, t [0; 10].

Ta có v'(t) = −12t + 48 = 0 t = 4 (thỏa mãn).

Ta có v(0) = 9; v(4) = 105; v(10) = −111 $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105$.

Đáp án đúng là: A

a) Ta có v(t) = s'(t) = −t$^{2}$ + 8t + 9 v(3) = 24 m/s.

b) Vật đứng yên khi v(t) = 0 −t$^{2}$ + 8t + 9 = 0 t = −1 (ktm) hoặc t = 9 (tm).

Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm t = 9 là:

$s\left( 9 \right) = - \frac{1}{3}{.9^3} + {4.9^2} + 9.9 = 162$ (m).

c) Có a(t) = v'(t) = −2t + 8.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s$^{2}$.

d) Xét hàm v(t) = −t$^{2}$ + 8t + 9; v'(t) = −2t + 8; v'(t) = 0 t = 4.

Bảng biến thiên của hàm số v(t) = −t$^{2}$ + 8t + 9 với t ∈ [0; 9].

Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].

Đáp án đúng là: B

A. Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: N(7) = 100e$^{0{,}012.7}$ = 100e$^{0{,}084}$ ≈ 108,763 (triệu người)

B. Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: N(12) = 100e$^{0{,}012.12}$ = 100e$^{0{,}144}$ ≈ 115,488 (triệu người)

C. Trên đoạn [0; 50] ta có: N'(t) = 0,012.100.e$^{0{,}012t}$ = 1,2e$^{0{,}012t}$ > 0, ∀t [0; 50].

Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].

D. Ta có: N'(t) = 1,2e$^{0{,}012t}$ .

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:

$1{,}6 = 1{,}2{e^{0{,}012t}} \Leftrightarrow {e^{0{,}012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23{,}97$.

Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.