Bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Ta có: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t + 1$.

Nhận xét: $v\left( t \right)$ có đồ thị là một parabol nên trong $5s$ đầu tiên vận tốc tức thời cúa chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng $13$ tại $t = 2s$.

Ta có: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t{e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t{e^{3t + 1}} \Rightarrow v\left( 1 \right) = 2{e^4} + 2{e^4} + 6{e^4} = 10{e^4}$ (km/s)

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m = 10\\n = 4\end{array} \right. \Rightarrow T = m + n = 10 + 4 = 14$

Xét hàm số: $h\left( t \right) = 2 + 24{,}5t - 4{,}9{t^2}$. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $h'\left( t \right) = - 9{,}8t + 24{,}5;\,\,h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 9{,}8t + 24{,}5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $t = \frac{5}{2}$

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là $t = \frac{5}{2}$ giây

Ta có: $f'\left( t \right) = \frac{{ - 5000{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$. Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi $f'\left( t \right)$ lớn nhất.

Đặt $h\left( t \right) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$ có $h'\left( t \right) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2.\left( { - 5{e^{ - t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right).25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\\h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\,\,\left( {thoa\,\,man} \right)\end{array}$

Ta có bảng biến thiên với $t \in \left[ {0; + \infty } \right)$:

Vậy sau khi phát hành khoảng $\ln 5 \approx 1{,}6$ năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.