Giải SGK Toán 12 Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian, cho điểm M và vectơ $\overrightarrow{u}$ khác vectơ – không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?

a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của $\overrightarrow{u}$.

b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của $\overrightarrow{u}$.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

Trong không gian Oxyz, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi $\overrightarrow{u}=(a;b;c)\ne \overrightarrow{0}$ và xuất phát từ điểm A(x$_{0}$; y$_{0}$; z$_{0}$) (H.5.26).

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Giả sử tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí M(x; y; z). Tính x, y, z theo a, b, c, x$_{0}$, y$_{0}$, z$_{0}$ và t.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ:\{\begin{matrix}x=2+t \\ y=3t \\ z=1+t\end{matrix}$.

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc ∆ và một vectơ chỉ phương của ∆.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=(1;3;1)$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x$_{0}$; y$_{0}$; z$_{0}$) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ (a, b, c là các số khác 0).

a) Điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow {AM} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)$ và $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ có mối quan hệ gì?

b) Điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi các phân số $\frac{{x - {x_0}}}{a},\frac{{y - {y_0}}}{b},\frac{{z - {z_0}}}{c}$ có mối quan hệ gì?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt A$_{1}$(x$_{1}$; y$_{1}$; z$_{1}$), A$_{2}$(x$_{2}$; y$_{2}$; z$_{2}$).

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng A$_{1}$A$_{2}$.

b) Viết phương trình đường thẳng A$_{1}$A$_{2}$.

(H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆$_{1}$, ∆$_{2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$.

a) Hai đường thẳng ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ có mối quan hệ gì?

b) Tìm điều kiện đối với $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ để ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ vuông góc với nhau.

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 0\end{array} \right.,{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2s\\z = 1\end{array} \right.$.

Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng D$_{1}$; D$_{2}$ lần lượt đi qua các điểm A$_{1}$(x$_{1}$; y$_{1}$; z$_{1}$), A$_{2}$(x$_{2}$; y$_{2}$; z$_{2}$) và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$ (H.5.29).

a) Tìm điều kiện đối với $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ để D$_{1}$ và D$_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

b) Giả sử $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0$ thì D$_{1}$ và D$_{2}$ có cắt nhau hay không?

c) Giả sử $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0$ thì D$_{1}$ và D$_{2}$ có chéo nhau hay không?

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

${\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}$.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${Δ}_{1}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{4}$ và ${Δ}_{2}:\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng D$_{1}$ và D$_{2}$ song song với nhau;

b) Đường thẳng D$_{1}$ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng D$_{2}$ trùng với đường thẳng ${\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}$;

d) Đường thẳng D$_{2}$ cắt trục Oz.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: ${Δ}_{1}:\{\begin{matrix}x=1+2t \\ y=3-t \\ z=2+3t\end{matrix}$ và ${Δ}_{2}:\frac{x-8}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{2}$.

a) Chứng minh rằng D$_{1}$ và D$_{2}$ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D$_{1}$ và D$_{2}$.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: ${Δ}_{1}:\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{2}$ và ${Δ}_{2}:\frac{x-1}{3}=\frac{x+1}{1}=\frac{z}{2}$.

a) Chứng minh rằng D$_{1}$ và D$_{2}$ song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D$_{1}$ và D$_{2}$.

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}$.

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là $\overrightarrow v = \left( {2;1;6} \right)$. Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm $M\left( {7;\frac{7}{2};21} \right)$.

b) Mục tiêu đặt tại điểm N(−3; 1; −8).

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại ví trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.