Bài tập Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 (có lời giải)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, một Cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) kết thúc tại điểm B có hoành độ x$_{B}$ = 550 chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)$. Tính độ dài đường cáp AB.

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz cho biết phương trình trục d của mũi khoan và một đường rãnh d' trên vật cần khoan (tham khảo hình) lần lượt là $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4k\\y = 2 + 2k\\z = 6\end{array} \right.$. Tọa độ giao điểm của d và d' là M(a; b; c). Tính S = a + b + c.

Cho các điểm A(0; 0; 0), B(12; 0; 0), C(12; 12; 0) và D(0; 12; 0) là các đỉnh của đáy hình chóp cụt bằng kính. Các đỉnh mặt trên là E(2; 2; 3), F(10; 2; 3), G(10; 10; 3) và H(2; 10; 3). Tại điểm P(0; 4; 0) đặt một tia laser, bắn theo hướng vectơ $\overrightarrow v = \left( {2;2;3} \right)$. Tia laser sẽ cắt mặt phẳng CDH tại điểm T(a; b; c). Tính a + b + c?

Khi phát triển hệ thống hỗ trợ đỗ xe ô tô, các nhà khoa học đã sao chép hệ thống định vị của loài rơi và tích hợp các cảm biến tương ứng vào cảm sau của xe. Các cảm biến được cài đặt sao cho chúng sẽ phát tín hiệu khi khoảng cách đến vật cản nhỏ hơn 0,4 m. Một người lái xe đang lùi về phía một mặt phẳng nghiêng, được cho bởi phương trình mặt phẳng (E): 6x + 2y + 3z = 49. Xác định được điểm R(a; b; c) trên đoạn PQ trong đó P(6; 3; 1) và Q(6; 4; 1) mà tại đó cảm biến bắt đầu báo động. Tính giá trị của biểu thức a – b + c?

Một sân bóng đá tiêu chuẩn có dạng hình chữ nhật với kích thước đường biên ngang là 60 m, khung thành rộng 7,2 m và cao 2,4 m nằm ở chính giữa đường biên ngang. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ O là điểm đá phạt góc, trục Ox nằm trên đường biên ngang, trục Oy nằm trên đường biên dọc, trục Oz nằm vuông góc với sân bóng, đơn vị trên mỗi trục là mét (tham khảo hình vẽ). Một quả bóng được đá từ vị trí P(3; 12; 0) với vận tốc 38m/s theo hướng của vectơ $\overrightarrow v = \left( {18; - 6;1} \right)$ về phía khung thành. Giả sử quả bóng là một điểm, quỹ đạo bay của bóng là một đường thẳng và khung thành là một phần của mặt phẳng (Oxz). Tính thời gian bóng bay từ vị trí điểm P đến khung thành là bao nhiêu giây?

Một kim tự tháp cổ có các đỉnh A(100; 0; 0), B(100; 100; 0), C(0; 100; 0), D(0; 0; 0) và đỉnh S(50; 50; 100). Từ mặt bên BCS nhô ra một thanh PQ thẳng đứng (là một phần của cơ cấu nâng), trung điểm T của thanh PQ được đỡ bởi cột thẳng đứng RT. Biết P(50; 60; 80), Q(50; 100; 100). Tính chiều dài cột TR.

Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ toạ độ Oxyz. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng a: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 3 + t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 + 4t}\end{array}} \right.$ và a cắt mặt bàn (P): x + y – 2z + 6 = 0 tại điểm F. Độ dài chân bàn FA = 80$\sqrt 3$ cm.

Khi đó:

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 150 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz trong không gian có gốc toạ độ O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M(0; 16; 12) đến điểm N(0; −24; −18).

Khi đó:

Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm t (tính bằng phút), kiến vàng (kiến bên trái) ở tại vị trí (6 + t; 8 – t; 3 + t) trên đường thẳng d$_{1}$. Cùng thời điểm đó, kiến đen ở tại vị trí (1 + t; 2 + t; 2t) trên đường thẳng d$_{2}$ được mô hình hoá như hình vẽ bên cạnh.

Khi đó:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một carbin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)$ với vận tốc là 6 m/s (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét).

Khi đó:

Anh Quý là một nhiếp ảnh gia chuyên săn ảnh chim hoang dã. Giả sử với hệ trục Oxyz cho trước, anh Quý đang ngắm và ống kính ở vị trí A có toạ độ (200; 675; 400) thì có một con gà lôi tía xuất hiện ở vị trí B có toạ độ (640; 550; 474). Nếu một quả đồi có toạ độ đỉnh C là (420; 610; 450).

Khi đó:

Khi gắn hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilomet) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(5; 0; 5) đến vị trí B(10; 10; 3) và hạ cánh tại vị trí M(a; b; c). Giá trị của b + c bằng bao nhiêu?

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng có phương trình: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}$ và hồng tâm A(3; 6; 2m + 5). Hỏi m bằng bao nhiêu thì vận động viên đó bắn trúng hồng tâm?

Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt từ zipline từ vị trí A cao 18 m của một tháp này sang vị trí B cao 12 m của tháp hai trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục toạ độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), toạ độ của A và B lần lượt là A(3; 2; 18) và B(23; 27; 12). Khi du khách ở độ cao 15 m thì toạ độ của du khách lúc đó là M(a; b; c). Tính giá trị của biểu thưc T = a + b + c?

Tại một sân bay, người ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O tại vị trí chân của đài quan sát, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay (đơn vị trên mỗi trục toạ độ tính theo kilomet). Trên màn hình Rađa người ta quan sát một máy bay đang hạ cánh theo đường thẳng từ vị trí A(16; 14; 10) đến vị trí B(8; 2; 5) và tiếp đất tại vị trí C(0; b; c). Hỏi vị trí tiếp đất của máy bay cách chân quan sát bao nhiêu kilomet? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).