Bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Đáp án: $P = 0$

Ta có $d{\rm{//}}\Delta$.

Chọn $A\left( {2;\, - 1;\,1} \right) \in \left( d \right),\,B\left( {3;\, - 2;\,1} \right) \in \left( \Delta \right)$.

$$\overrightarrow {AB} = \left( {1;\, - 1;\,0} \right)$$

Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( \Delta \right)$ qua $A\left( {2;\, - 1;\,1} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( { - 2;\, - 2;\,4} \right) = - 2\left( {1;\,1;\, - 2} \right)$ là:

$1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z + 1 = 0$.

Đáp án: $h - k = 0$

$H \in {\Delta _1} \Leftrightarrow H\left( {3 + 2t;t;1 + t} \right)$.

$K \in {\Delta _2} \Leftrightarrow K\left( {1 + m;2 + 2m;m} \right)$.

Ta có$\overrightarrow {HK} = \left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} \right)$.

Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 2} \right)$.

$\Delta \bot d \Leftrightarrow$$\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK} = 0$$\Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right).$

Ta có$H{K^2} = {\left( { - t - 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27,\forall t \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow minHK = \sqrt {27} ,$đạt được khi $t = - 1$.

Khi đó ta có $\overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)$, suy ra $\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.$

Đáp án: $d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 4$

Gọi $M\left( {x\,;\,y\,;\,z} \right)$ là điểm cần tìm.

$\overrightarrow {AM} = \left( {x - 3\,;\,y - 1\,;\,z - 2} \right)$, $\overrightarrow {BM} = \left( {x + 3\,;\,y + 1\,;\,z} \right)$.

Vì $\Delta MAB$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11$.

$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {11}$.

Nhận xét thấy $d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^3}} }} = \sqrt {11} = R$.

$\Rightarrow \left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại $M$

$\Rightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right)$

Vậy $d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| 4 \right| = 4$.

Đáp án: khoảng cách từ $A$đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng $3$.

Đường thẳng $d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2\,;\,2\,;\, - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 3 = 0$có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} \,.\,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Khi đó tam giác $\Delta MAH$ vuông tại $H$ nên $\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = \sin \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{AM}}$.

$\Rightarrow AH = AM\,.\,\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = 3$.

Vậy khoảng cách từ $A$đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng $3$.