Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 27. Thể tích có đáp án

Thể tích của căn phòng là: V = 4 × 5 × 3 = 60 (m$^{3}$).

Vì mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hòa 200 BTU nên căn phòng cần điều hòa có công suất là: 60 × 200 = 12 000 (BTU).

Vậy bác An cần mua loại điều hòa có công suất là 12 000 BTU.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD).

Xét tam giác BCD vuông tại C, có $BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=a\sqrt{2}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của BD, suy ra $BO=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOB vuông tại O, có $SO=\sqrt{S{B}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{{b}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$ .

Ta có . ${V}_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot {S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot {a}^{2}\cdot \sqrt{{b}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}=\frac{1}{3}\cdot {a}^{2}\cdot \sqrt{\frac{2{b}^{2}-{a}^{2}}{2}}$ .

a) Ta có ${S}_{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}=\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}$ ; ${S}_{ABC}=\frac{{(2a)}^{2}\sqrt{3}}{4}={a}^{2}\sqrt{3}$ .

Khi đó ${V}_{ABC.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}=\frac{1}{3}\cdot ({S}_{ABC}+{S}_{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}+\sqrt{{S}_{ABC}\cdot {S}_{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}})\cdot H{H}^{'}$

$=\frac{1}{3}\cdot ({a}^{2}\sqrt{3}+\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}+\sqrt{{a}^{2}\sqrt{3}\cdot \frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}})\cdot h$.

$=\frac{1}{3}\cdot ({a}^{2}\sqrt{3}+\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{2})\cdot h$

b) Vì ABC.A'B'C' là khối chóp cụt đều nên (ABC) // (A'B'C') mà (AB$_{1}$C$_{1}$) Ì (ABC) nên (AB$_{1}$C$_{1}$) // (A'B'C').

Xét tam giác ABC có B$_{1}$, C$_{1}$ lần lượt là trung điểm của AB, AC nên B$_{1}$C$_{1}$ là đường trung bình của tam giác ABC do đó B$_{1}$C$_{1}$ // BC và ${B}_{1}{C}_{1}=\frac{BC}{2}=\frac{2a}{2}=a$ .

Lại có B'C' // BC nên B$_{1}$C$_{1}$ // B'C' và B'C' = B$_{1}$C$_{1}$ = a nên B$_{1}$C$_{1}$C'B' là hình bình hành.

Vì B$_{1}$, C$_{1}$ lần lượt là trung điểm của AB, AC nên AB$_{1}$ = AC$_{1}$ = a.

Vì A'B' // AB$_{1}$ và A'B' = AB$_{1}$ = a nên A'B'B$_{1}$A là hình bình hành.

Vì A'C' // AC$_{1}$ và A'C' = AC$_{1}$ = a nên A'C'C$_{1}$A là hình bình hành.

Do đó AB$_{1}$C$_{1}$.A'B'C' là hình lăng trụ.

Vì hình lăng trụ AB$_{1}$C$_{1}$.A'B'C' có cùng chiều cao với khối chóp cụt đều ABC.A'B'C' nên ${V}_{A{B}_{1}{C}_{1}.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}={S}_{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}.H{H}^{'}=\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h$ .

Sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'.

Ta có S$_{1}$ = S$_{ABCD}$ = 60$^{2}$ = 3 600(cm$^{2}$), S$_{2}$ = S$_{A'B'C'D'}$ = 30$^{2}$ = 900 (cm$^{2}$).

Kẻ D'H ^ BD tại H.

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Vì OO' ^ (ABCD) nên OO' ^ OH, OO' ^ (A'B'C'D') nên OO' ^ B'D'.

Do đó OHD'O' là hình chữ nhật, suy ra O'D' = OH, OO' = HD'.

Xét tam giác B'C'D' vuông tại C', có

${B}^{'}{D}^{'}=\sqrt{{B}^{'}{{C}^{'}}^{2}+{C}^{'}{{D}^{'}}^{2}}=\sqrt{{30}^{2}+{30}^{2}}=30\sqrt{2}$ (cm).

Vì O' là trung điểm của B'D' nên ${D}^{'}{O}^{'}=\frac{{D}^{'}{B}^{'}}{2}=15\sqrt{2}$ (cm).

Xét tam giác BCD vuông tại C, có

$BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{60}^{2}+{60}^{2}}=60\sqrt{2}$ (cm).

Mà O là trung điểm của BD nên $DO=\frac{DB}{2}=30\sqrt{2}$ (cm).

Có HD = DO – OH = (cm).

Xét tam giác DHD' vuông tại H, có

${D}^{'}H=\sqrt{{}^{2}-H{D}^{2}}=\sqrt{{50}^{2}-{(15\sqrt{2})}^{2}}=5\sqrt{82}$ (cm).

Do đó $5\sqrt{82}$ (cm).

${V}_{ABCD.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}D\ }=\frac{1}{3}({S}_{1}+{S}_{2}+\sqrt{{S}_{1}\cdot {S}_{2}})\cdot$

$=\frac{1}{3}(3\ 600+900+\sqrt{3\ 600\cdot 900})\cdot 5\sqrt{82}=10500\sqrt{82}$(cm$^{3}$).