Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1. Giới hạn của dãy số có đáp án

Cho dãy số (u$_{n}$) với ${u}_{n}=\frac{{(-1)}^{n}}{n}$.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm u$_{n}$ đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{1}{{n}^{2}}$;

Tìm các giới hạn sau:

b) $\lim {(-\frac{3}{4})}^{n}$.

Cho dãy số (u$_{n}$) với ${u}_{n}=\frac{2n+1}{n}$.

a) Cho dãy số (v$_{n}$) với v$_{n}$ = u$_{n}$ – 2. Tìm giới hạn lim v$_{n}$.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim (2+{(\frac{2}{3})}^{n})$;

Tìm các giới hạn sau:

b) $\lim (\frac{1-4n}{n})$.

Ở trên ta đã biết $\lim (3+\frac{1}{{n}^{2}})=\lim \frac{3{n}^{2}+1}{{n}^{2}}=1$.

a) Tìm các giới hạn lim 3 và $\lim \frac{1}{{n}^{2}}$.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2{n}^{2}+3n}{{n}^{2}+1}$;

Tìm các giới hạn sau:

b) $\lim \frac{\sqrt{4{n}^{2}+3}}{n}$.

Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u$_{k}$ của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu u$_{n}$ (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

a) Với n như thế nào thì u$_{n}$ vượt quá 10 000; 1 000 000?

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{-2n+1}{n}$;

b) $\lim \frac{\sqrt{16{n}^{2}-2}}{n}$;

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{-2n+1}{n}$;

d) $\lim \frac{{n}^{2}-2n+3}{2{n}^{2}}$.

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+{(-\frac{1}{2})}^{n}+...$;

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

b) $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...+{(\frac{1}{4})}^{n}+...$ .

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu a$_{n}$ là diện tích của hình vuông thứ n và S$_{n}$ là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a$_{n}$, S$_{n}$ (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limS$_{n}$ (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

a) Bắt đầu một hình vuông H$_{0}$ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H$_{0}$ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H$_{1}$ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H$_{1}$ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H$_{2}$ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình H$_{n}$(n = 1, 2, 3, ...).

Ta có: H$_{1}$ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$;

H$_{2}$ có 5.5 = 5$^{2}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{{3}^{2}};...$

Từ đó, nhận được H$_{n}$ có 5$^{n}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{{3}^{n}}$.

a) Tính diện tích S$_{n}$ của H$_{n}$ và tính lim S$_{n}$.

b) Tính chu vi p$_{n}$ của H$_{n}$ và tính limp$_{n}$.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S$_{n}$ và chu vi limp$_{n}$).