22 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1. Giới hạn của dãy số (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Chọn khẳng định đúng?

Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?

(I) $\lim {n^k} = + \infty$ với $k$ nguyên dương.

(II) $\lim {q^n} = + \infty$ nếu $\left| q \right| < 1$.

(III) $\lim {q^n} = + \infty$ nếu $q > 1$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho hai dãy số (u$_{n}$) và (v$_{n}$) có ${u_n} = \frac{1}{{n + 1}};{v_n} = \frac{3}{{n + 3}}$.

a) $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{3}$.

b) lim(v$_{n}$ + 1) = 1.

c) Ta nói dãy số (u$_{n}$) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, vì |u$_{n}$| có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

d) lim(u$_{n}$ – v$_{n}$) = 0.

Cho $S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ...$ và $T = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}} + ...$. Khi đó:

a) $S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = - \frac{1}{2}$.

b) $T = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}} + ...$ là tổng của câp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{3}$.

c) S > T.

d) $S = \frac{1}{T}$.

Cho dãy số (u$_{n}$) với u$_{1}$ = 2; u$_{n + 1}$= u$_{n}$ + $\frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1$. Đặt v$_{n}$ = u$_{n + 1}$– u$_{n}$.

a) ${u_2} = \frac{{20}}{9}$.

b) ${v_2} = \frac{2}{9}$.

c) limv$_{n}$ = 2.

d) limu$_{n}$ = 3.

Cho hai dãy số (u$_{n}$), (v$_{n}$) với u$_{n}$ = 4.3$^{n}$ – 7$^{n + 1}$ ; v$_{n}$ = 7$^{n}$.

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = 0$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = \frac{8}{{19}}$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty$.

Biết giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = a$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = b$. Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0.

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0.

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi }{2}$.

d) Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với công sai $d = b$ và ${u_1} = a$, thì ${u_3} = \frac{3}{2}$.

PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,511111... viết dạng phân số có dạng $\frac{a}{b}$ với a; b là các số tự nhiên và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $\left| {b - 2a} \right|$.