Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1. Đạo hàm có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết được:

Tốc độ của xe cho biết tốc độ thay đổi của quãng đường của xe đi được theo thời gian. Nếu biết quãng đường tại mọi thời điểm thì có thể tính được tốc độ của xe tại mọi thời điểm (dựa vào phép tính đạo hàm).

a) • Với t ∈ [5; 5,1], chọn t = 5,1 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9\ .\ 5,{1}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{5{,}1-5}=49{,}49$.

• Với t ∈ [5; 5,05], chọn t = 5,05 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9\ .\ 5,{05}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{5{,}05-5}=49{,}245$.

• Với t ∈ [5; 5,01], chọn t = 5,01 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9\ .\ 5,{01}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{5{,}01-5}=49{,}049$.

• Với t ∈ [5; 5,001], chọn t = 5,001 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9\ .\ 5,{001}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{5{,}001-5}=49{,}0049$.

• Với t ∈ [4,999; 5], chọn t = 4,999 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9.4,{99}^{2}-4{,}9.{5}^{2}}{4{,}999-5}=48{,}9951$.

• Với t ∈ [4,99; 5], chọn t = 4,99 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9.4,{99}^{2}-4{,}9.{5}^{2}}{4{,}99-5}=48{,}951$.

Từ đó ta có bảng sau:

Ta thấy $\frac{s(t)-s(5)}{t-5}$ càng gần 49 khi t càng gần 5.

b) $\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }\frac{4{,}9{t}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{t-5}$

$=\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }\frac{4{,}9({t}^{2}-{5}^{2})}{t-5}=\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }\frac{4{,}9(t-5)(t+5)}{t-5}$

$=\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }4{,}9(t+5)=4{,}9(5+5)=49.$

c) $\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{s(t)-s({t}_{0})}{t-{t}_{0}}=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{4{,}9{t}^{2}-4{,}9{t}_{0}^{2}}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{4{,}9({t}^{2}-{t}_{0}^{2})}{t-{t}_{0}}=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{4{,}9(t-{t}_{0})(t+{t}_{0})}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }4{,}9(t+{t}_{0})=4{,}9({t}_{0}+{t}_{0})=9{,}8{t}_{0}.$

Với bất kì x$_{0}$ ∈ ℝ, ta có:

${f}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{{x}^{3}-{x}_{0}^{3}}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{(x-{x}_{0})({x}^{2}+x\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2})}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }({x}^{2}+x\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2})={x}_{0}^{2}+{x}_{0}\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2}=3{x}_{0}^{2}$.

Vậy ${f}^{'}(x)={({x}^{3})}^{'}=3{x}^{2}$ trên ℝ.

Với bất kì t$_{0}$ ∈ ℝ, ta có:

${s}^{'}({t}_{0})=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{s(t)-s({t}_{0})}{t-{t}_{0}}=9{,}8{t}_{0}$.

Do đó ${s}^{'}(t)=9{,}8t$ trên ℝ.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là:

$v(2)={s}^{'}(2)=9{,}8\ .\ 2=19{,}6$ (m/s).

a) Đồ thị hàm số $(C):y=\frac{1}{2}{x}^{2}$ được vẽ như hình bên dưới.

Ta có ${f}^{'}(1)=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}}{x-1}$

$=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}({x}^{2}-1)}{x-1}=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}(x-1)(x+1)}{x-1}$

$=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{1}{2}(x+1)=\frac{1}{2}(x+1)=1$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{2}{x}^{2}$ có đồ thị (C) và điểm $M(1;\ \frac{1}{2})$ thuộc (C).

a) Vẽ (C) và tính f*'* (1).