Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1. Đạo hàm có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết được:

Tốc độ của xe cho biết tốc độ thay đổi của quãng đường của xe đi được theo thời gian. Nếu biết quãng đường tại mọi thời điểm thì có thể tính được tốc độ của xe tại mọi thời điểm (dựa vào phép tính đạo hàm).

a) • Với t ∈ [5; 5,1], chọn t = 5,1 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9\ .\ 5,{1}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{5{,}1-5}=49{,}49$.

• Với t ∈ [5; 5,05], chọn t = 5,05 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9\ .\ 5,{05}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{5{,}05-5}=49{,}245$.

• Với t ∈ [5; 5,01], chọn t = 5,01 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9\ .\ 5,{01}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{5{,}01-5}=49{,}049$.

• Với t ∈ [5; 5,001], chọn t = 5,001 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9\ .\ 5,{001}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{5{,}001-5}=49{,}0049$.

• Với t ∈ [4,999; 5], chọn t = 4,999 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9.4,{99}^{2}-4{,}9.{5}^{2}}{4{,}999-5}=48{,}9951$.

• Với t ∈ [4,99; 5], chọn t = 4,99 ta có:

$\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\frac{4{,}9.4,{99}^{2}-4{,}9.{5}^{2}}{4{,}99-5}=48{,}951$.

Từ đó ta có bảng sau:

Ta thấy $\frac{s(t)-s(5)}{t-5}$ càng gần 49 khi t càng gần 5.

b) $\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }\frac{s(t)-s(5)}{t-5}=\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }\frac{4{,}9{t}^{2}-4{,}9\ .\ {5}^{2}}{t-5}$

$=\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }\frac{4{,}9({t}^{2}-{5}^{2})}{t-5}=\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }\frac{4{,}9(t-5)(t+5)}{t-5}$

$=\underset{t\rightarrow \ 5}{\lim }4{,}9(t+5)=4{,}9(5+5)=49.$

c) $\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{s(t)-s({t}_{0})}{t-{t}_{0}}=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{4{,}9{t}^{2}-4{,}9{t}_{0}^{2}}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{4{,}9({t}^{2}-{t}_{0}^{2})}{t-{t}_{0}}=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{4{,}9(t-{t}_{0})(t+{t}_{0})}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }4{,}9(t+{t}_{0})=4{,}9({t}_{0}+{t}_{0})=9{,}8{t}_{0}.$

Với bất kì x$_{0}$ ∈ ℝ, ta có:

${f}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{{x}^{3}-{x}_{0}^{3}}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{(x-{x}_{0})({x}^{2}+x\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2})}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }({x}^{2}+x\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2})={x}_{0}^{2}+{x}_{0}\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2}=3{x}_{0}^{2}$.

Vậy ${f}^{'}(x)={({x}^{3})}^{'}=3{x}^{2}$ trên ℝ.

Với bất kì t$_{0}$ ∈ ℝ, ta có:

${s}^{'}({t}_{0})=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{s(t)-s({t}_{0})}{t-{t}_{0}}=9{,}8{t}_{0}$.

Do đó ${s}^{'}(t)=9{,}8t$ trên ℝ.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là:

$v(2)={s}^{'}(2)=9{,}8\ .\ 2=19{,}6$ (m/s).

a) Đồ thị hàm số $(C):y=\frac{1}{2}{x}^{2}$ được vẽ như hình bên dưới.

Ta có ${f}^{'}(1)=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}}{x-1}$

$=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}({x}^{2}-1)}{x-1}=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}(x-1)(x+1)}{x-1}$

$=\underset{t\rightarrow 1}{\lim }\frac{1}{2}(x+1)=\frac{1}{2}(x+1)=1$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{2}{x}^{2}$ có đồ thị (C) và điểm $M(1;\ \frac{1}{2})$ thuộc (C).

a) Vẽ (C) và tính f*'* (1).

b) Theo đề bài, đường thẳng d đi qua $M(1;\ \frac{1}{2})$ và có hệ số góc bằng k = f*'* (1) = 1 nên:

$y-\frac{1}{2}=1(x-1)\Leftrightarrow y-\frac{1}{2}=x-1\Leftrightarrow y=x-\frac{1}{2}$.

Lấy điểm $M(1;\ \frac{1}{2})$, vẽ đường thẳng $(d):y=x-\frac{1}{2}$, ta có hình vẽ:

Nhận xét: Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại duy nhất tại điểm $M(1;\ \frac{1}{2})$.

Khi đó, đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại điểm $M(1;\ \frac{1}{2})$.

Ta có ${(\frac{1}{x})}^{'}=-\frac{1}{{x}^{2}}$ nên tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hệ số góc ${f}^{'}(x)=-\frac{1}{{1}^{2}}=-1$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là:

y – 1 = (–1)(x – 1) ⇔ y – 1 = 1 – x ⇔ y = – x + 2.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M bằng –1 và phương trình tiếp tuyến là y = – x + 2.

a) Nếu người gửi với kì hạn một năm.

Số tiền lãi sau một năm là A.r.

Tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi là:

A + Ar = A(1 + r).

b) Nếu người gửi với kì hạn một tháng.

Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là: $A\ .\frac{r}{12}$.

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ nhất là:

$A+A\ .\frac{r}{12}=A(1+\frac{r}{12})$.

Số tiền lãi sau tháng thứ hai là: $A(1+\frac{r}{12})\ \cdot \frac{r}{12}$.

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ hai là:

$A(1+\frac{r}{12})+A(1+\frac{r}{12})\ \cdot \frac{r}{12}=A(1+\frac{r}{12})(1+\frac{r}{12})=A{(1+\frac{r}{12})}^{2}$.

Số tiền lãi sau tháng thứ ba là: $A{(1+\frac{r}{12})}^{2}\ \cdot \frac{r}{12}$.

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ ba là:

$A{(1+\frac{r}{12})}^{2}+A{(1+\frac{r}{12})}^{2}\cdot \frac{r}{12}=A{(1+\frac{r}{12})}^{2}\cdot (1+\frac{r}{12})=A{(1+\frac{r}{12})}^{3}$.

...

Tương tự, tổng số tiền vốn và lãi sau 1 năm (tức là sau tháng thứ 12) là: $A{(1+\frac{r}{12})}^{12}.$

Vậy tổng số tiền vốn và lãi sau một năm là $A{(1+\frac{r}{12})}^{12}.$

a) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là:

$T=5\ 000\ 000\ .\ {e}^{0{,}04\cdot \frac{1}{365}}\approx 5\ 000\ 548$ (đồng)

Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày khoảng 5 000 548 đồng.

b) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là:

$T=5\ 000\ 000\ .\ {e}^{0{,}04\cdot \frac{30}{365}}\approx 5\ 016\ 465$ (đồng).

Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày khoảng 5 016 465 đồng.

a) Với bất kì x$_{0}$ ∈ ℝ, ta có:

${f}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{(-{x}^{2})-(-{x}_{0}^{2})}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{-{x}^{2}+{x}_{0}^{2}}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{-(x-{x}_{0})(x+{x}_{0})}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }(-x-{x}_{0})$

$=-{x}_{0}-{x}_{0}=-2{x}_{0}$.

Vậy ${f}^{'}(x)={(-{x}^{2})}^{'}=-2x$ trên ℝ.

b) Với bất kì x$_{0}$ ∈ ℝ, ta có:

${f}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{({x}^{3}-2x)-({x}_{0}^{3}-2{x}_{0})}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{{x}^{3}-2x-{x}_{0}^{3}+2{x}_{0}}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{({x}^{3}-{x}_{0}^{3})-(2x-2{x}_{0})}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{(x-{x}_{0})({x}^{2}+x\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2})-2(x-{x}_{0})}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{(x-{x}_{0})({x}^{2}+x\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2}-2)}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }({x}^{2}+x\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2}-2)$

$={x}_{0}^{2}+{x}_{0}\ .\ {x}_{0}+{x}_{0}^{2}-2=3{x}_{0}^{2}-2$.

Vậy ${f}^{'}(x)={({x}^{3}-2x)}^{'}=3{x}^{2}-2$ trên ℝ.

c) Với bất kì x$_{0}$ ≠ 0, ta có:

${f}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\frac{4}{x}-\frac{4}{{x}_{0}}}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\frac{4{x}_{0}-4x}{x{x}_{0}}}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{4{x}_{0}-4x}{x{x}_{0}(x-{x}_{0})}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{-\ 4(x-{x}_{0})}{x{x}_{0}(x-{x}_{0})}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{-\ 4}{x{x}_{0}}=\frac{-\ 4}{{x}_{0}.\ {x}_{0}}=-\frac{4}{{x}_{0}^{2}}$.

Vậy ${f}^{'}(x)={(\frac{4}{x})}^{'}=-\frac{4}{{x}^{2}}$ trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là:

${f}^{'}(1)=\underset{x\rightarrow \ 1}{\lim }\frac{(-2{x}^{2})-(-2\ .\ {1}^{2})}{x-1}=\underset{x\rightarrow \ 1}{\lim }\frac{-2{x}^{2}+2}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow \ 1}{\lim }\frac{-2({x}^{2}-1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow \ 1}{\lim }\frac{-2(x-1)(x+1)}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow \ 1}{\lim }[-2(x+1)]=-2(1+1)=-\ 4$.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là −4.

Ta có: (x$^{3}$)′ = 3x$^{2}$.

a) Vì điểm M(−1; 1) không thuộc đồ thị hàm số (C) nên không có phương trình tiếp tuyến tại điểm M(−1; 1).

b) Với x$_{0}$ = 2 ⇔ y$_{0}$ = 2$^{3}$ = 8. Do đó N(2; 8).

Tiếp tuyến của (C) tại điểm N(2; 8) có hệ số góc là:

f ′(2) = 3.2$^{2}$ = 12.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N là:

y – 8 = 12(x − 2) ⇔ y = 12x – 24 + 8 ⇔ y = 12x – 16.

Vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2 là:

$v(2)={s}^{'}(2)=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{s(t)-s(2)}{t-2}$

$=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{(4{t}^{3}+6t+2)-(4\ .\ {2}^{3}+6\ .\ 2+2)}{t-2}$

$=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{4{t}^{3}+6t+2-46}{t-2}=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{4{t}^{3}+6t-44}{t-2}$

$=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{2(2{t}^{3}+3t-22)}{t-2}=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{2(t-2)(2{t}^{2}+4t-11)}{t-2}$

$=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }2(2{t}^{2}+4t-11)=2(2\ .\ {2}^{2}+4\ .\ 2-11)=54$.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là v(2) = 54 m/s.

a) Nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 6 tháng.

Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:

$T=A\ .\ {(1+\frac{r}{n})}^{n}=10\ 0000\ 0000\ .\ {(1+\frac{0{,}05}{2})}^{2}=10\ 506\ 250$ (đồng).

Vậy tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là 10 506 250 đồng, nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 6 tháng.

b) Nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép liên tục.

Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:

$T=A\ .\ {e}^{rt}=10\ 0000\ 0000\ .\ {e}^{0{,}05}\approx 10\ 512\ 711$ (đồng).

Vậy tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là 10 512 711 đồng, nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép liên tục.

Ta có ${h}^{'}(2)=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{h(t)-h(2)}{t-2}=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{0{,}81{t}^{2}-0{,}81\ .\ {2}^{2}}{t-2}$

$=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{0{,}81({t}^{2}-{2}^{2})}{t-2}=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }\frac{0{,}81(t-2)(t+2)}{t-2}$

$=\underset{t\rightarrow 2}{\lim }0{,}81(t+2)=0{,}81(2+2)=3{,}24$.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là v(2) = h*'* (2) = 3,24 m/s.