Ngân hàng đề / … / Lớp 11 / Toán / Toán 11 – Cánh diều / Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân / Cấp số nhân
Nội dung đề
Phần I. Tự luận
Vi khuẩn E. coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần.
(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010)
Giả sử lúc đầu có 100 vi khuẩn E. coli.
Hỏi có bao nhiêu vi khuẩn E.coli sau 180 phút?
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Lời giải
Số lượng vi khuẩn lúc đầu Q0 _{0} 0
Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi đầu tiên (sau 20 = 1.20 phút) là: Q1 _{1} 1
Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ hai (sau 40 = 2.20 phút) là: Q2 _{2} 2 2 ^{2} 2
Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ ba (sau 60 = 3.20 phút) là: Q3 _{3} 3 3 ^{3} 3
Tổng quát: Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ n (sau n. 20 phút) là: Qn _{n} n n ^{n} n
Vì vậy số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ thứ 9 (sau 180 = 9.20 phút) là: Q9 _{9} 9 9 ^{9} 9
Cho dãy số
1 3 \frac{1}{3} 3 1 ; 1; 3; 9; 27; 81; 243. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Lời giải
Ta có số hạng thứ hai gấp số hạng đứng trước nó 1 : 1 3 = 3 1:\frac{1}{3} = 3 1 : 3 1 = 3
Số hạng thứ ba gấp số hạng đứng trước nó 3:1 = 3 lần.
Số hạng thứ tư gấp số hạng đứng trước nó 9:3 = 3 lần.
Số hạng thứ năm gấp số hạng đứng trước nó 27:9 = 3 lần.
Số hạng thứ sáu gấp số hạng đứng trước nó 81: 27 = 3 lần.
Số hạng thứ bảy gấp số hạng đứng trước nó 243:81 = 3 lần.
Vì vậy ta có kết luận kể từ số hạng thứ hai, ta thấy số hạng sau gấp 3 lần số hạng đứng trước nó.
Cho cấp số nhân (un _{n} n 1 _{1} 1 2 _{2} 2
a) Tìm công bội q.
b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Lời giải
a) (un _{n} n q = u 2 u 1 = − 2 − 6 = 1 3 q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 2}}{{ - 6}} = \frac{1}{3} q = u 1 u 2 = − 6 − 2 = 3 1
b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:
u1 _{1} 1 2 _{2} 2 u 3 = ( − 6 ) . ( 1 3 ) 2 = − 2 3 ; u 4 = ( − 6 ) . ( 1 3 ) 3 = − 2 9 ; u 5 = ( − 6 ) . ( 1 3 ) 4 = − 2 27 {u_3} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = - \frac{2}{3};{u_4} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = - \frac{2}{9};{u_5} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = - \frac{2}{{27}} u 3 = ( − 6 ) . ( 3 1 ) 2 = − 3 2 ; u 4 = ( − 6 ) . ( 3 1 ) 3 = − 9 2 ; u 5 = ( − 6 ) . ( 3 1 ) 4 = − 27 2
Cho dãy số (u
n _{n} n ) với u
n _{n} n = 3.2
n ^{n} n (n ≥ 1). Dãy (u
n _{n} n ) có là cấp số nhân không? Vì sao?
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Lời giải
Ta có: un + 1 _{n+1} n + 1 n + 1 ^{n+1} n + 1
⇒ u n + 1 u n = 3.2 n + 1 3.2 n = 2 \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{3.2}^{n + 1}}}}{{{{3.2}^n}}} = 2 ⇒ u n u n + 1 = 3.2 n 3.2 n + 1 = 2
Vì vậy dãy (un _{n} n 1 _{1} 1
Cho cấp số nhân (un _{n} n 1 _{1} 1
a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo u1 _{1} 1
b) Dự đoán công thức tính un _{n} n 1 _{1} 1
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Lời giải
a) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là: u1 _{1} 1 1 _{1} 1 1 _{1} 1 2 ^{2} 2 1 _{1} 1 3 ^{3} 3 1 _{1} 1 4 ^{4} 4
b) Dự đoán công thức tính un _{n} n 1 _{1} 1 n _{n} n 1 _{1} 1 n − 1 ^{n-1} n − 1
Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm).
Cho cấp số nhân (un _{n} n 1 _{1} 1 n _{n} n 1 _{1} 1 2 _{2} 2 3 _{3} 3 n _{n} n 1 _{1} 1 1 _{1} 1 1 _{1} 1 2 ^{2} 2 1 _{1} 1 n − 1 ^{n-1} n − 1
a) Tính Sn _{n} n n _{n} n n _{n} n
b) Từ đó, hãy tìm công thức tính Sn _{n} n 1 _{1} 1
Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:
a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12;
b) 1 10 , 1 100 , 1 1 000 , . . . \frac{1}{{10}},\frac{1}{{100}},\frac{1}{{1\,\,000}},... 10 1 , 100 1 , 1 000 1 , ...
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?
a) 5; – 0,5; 0,05; – 0,005; 0,0005;
b) – 9; 3; – 1; 1 3 ; − 1 9 \frac{1}{3}; - \frac{1}{9} 3 1 ; − 9 1
c) 2; 8; 32; 64; 256.
Chứng minh mỗi dãy số (un _{n} n
a) u n = − 3 4 .2 n {u_n} = - \frac{3}{4}{.2^n} u n = − 4 3 . 2 n
b) u n = 5 3 n {u_n} = \frac{5}{{{3^n}}} u n = 3 n 5
c) un _{n} n n ^{n} n
Cho cấp số nhân (un _{n} n 1 _{1} 1
a) Tìm un _{n} n
b) Số – 320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?
c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?
Cho cấp số nhân (un _{n} n 1 _{1} 1 u 3 = 27 4 {u_3} = \frac{{27}}{4} u 3 = 4 27
a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.
b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.
Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi un _{n} n
a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020.
b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.
Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).
a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.
b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.
c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống.
Tất cả đề Cấp số nhân · Các bộ sách Toán Lớp 11
