Giải SGK Toán 11 CD Bài 3. Cấp số nhân có đáp án

Lời giải

Số lượng vi khuẩn lúc đầu Q$_{0}$ = 100 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi đầu tiên (sau 20 = 1.20 phút) là: Q$_{1}$ = 100.2 = 200 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ hai (sau 40 = 2.20 phút) là: Q$_{2}$ = 100.2.2 = 100.2$^{2}$ = 400 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ ba (sau 60 = 3.20 phút) là: Q$_{3}$ = 100.2.2.2 = 100.2$^{3}$ = 800 (vi khuẩn).

Tổng quát: Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ n (sau n. 20 phút) là: Q$_{n}$ = 100.2$^{n}$ (vi khuẩn).

Vì vậy số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ thứ 9 (sau 180 = 9.20 phút) là: Q$_{9}$ = 100.2$^{9}$ = 51 200 (vi khuẩn).

Lời giải

Ta có số hạng thứ hai gấp số hạng đứng trước nó $1:\frac{1}{3} = 3$lần.

Số hạng thứ ba gấp số hạng đứng trước nó 3:1 = 3 lần.

Số hạng thứ tư gấp số hạng đứng trước nó 9:3 = 3 lần.

Số hạng thứ năm gấp số hạng đứng trước nó 27:9 = 3 lần.

Số hạng thứ sáu gấp số hạng đứng trước nó 81: 27 = 3 lần.

Số hạng thứ bảy gấp số hạng đứng trước nó 243:81 = 3 lần.

Vì vậy ta có kết luận kể từ số hạng thứ hai, ta thấy số hạng sau gấp 3 lần số hạng đứng trước nó.

Lời giải

a) (u$_{n}$) là cấp số nhân có công bội $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 2}}{{ - 6}} = \frac{1}{3}$.

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

u$_{1}$ = – 6, u$_{2}$ = – 2; ${u_3} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = - \frac{2}{3};{u_4} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = - \frac{2}{9};{u_5} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = - \frac{2}{{27}}$.

Lời giải

Ta có: u$_{n+1}$ = 3.2$^{n+1}$

$\Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{3.2}^{n + 1}}}}{{{{3.2}^n}}} = 2$ với n ≥ 1

Vì vậy dãy (u$_{n}$) là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 6 và công bội q = 2.

Lời giải

a) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là: u$_{1}$; u$_{1}$.q; u$_{1}$.q$^{2}$; u$_{1}$q$^{3}$; u$_{1}$q$^{4}$.

b) Dự đoán công thức tính u$_{n}$ theo u$_{1}$ và q là: u$_{n}$ = u$_{1}$q$^{n-1}$.

Lời giải

Số tiền ban đầu T$_{1}$ = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

T$_{2}$ = 100 + 100.6% = 100.(1 + 6%) (triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

T$_{3}$ = 100.(1 + 6%) + 100.(1 + 6%).6% = 100.(1 + 6%)$^{2}$ (triệu đồng).

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

T$_{4}$ = 100.(1 + 6%)$^{2}$ + 100.(1 + 6%)$^{2}$.6% = 100.(1 + 6%)$^{3}$(triệu đồng).

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu T$_{1}$ = 100 và công bội q = 1 + 6% có số hạng tổng quát là:

T$_{n + 1}$ = 100.(1 + 6%)$^{n}$(triệu đồng).

Lời giải

a) Ta có: S$_{n}$.q = (u$_{1}$ + u$_{1}$q + u$_{1}$q$^{2}$ + ... + u$_{1}$q$^{n-1}$).q = u$_{1}$.q + u$_{1}$.q$^{2}$ + u$_{1}$q$^{3}$ + ... + u$_{1}$q$^{n}$

S$_{n}$ – S$_{n}$.q = u$_{1}$ + u$_{1}$q + u$_{1}$q$^{2}$ + ... + u$_{1}$q$^{n-1}$ – (u$_{1}$.q + u$_{1}$.q$^{2}$ + u$_{1}$q$^{3}$ + ... + u$_{1}$q$^{n}$)

= u$_{1}$ – u$_{1}$q$^{n}$

b) Ta có: ${S_n} - {S_n}q = {u_1} - {u_1}{q^n}$

$\Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)$

$\Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.

Vậy công thức tính S$_{n}$ là: ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.

Lời giải

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với u$_{1}$ = 3 và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

${S_{12}} = \frac{{3\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{12}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 12\,\,285$.

b) Ta có: $\frac{1}{{10}},\frac{1}{{100}},\frac{1}{{1\,\,000}},...$ là một cấp số nhân với u$_{1}$ = $\frac{1}{{10}}$ và công bội $q = \frac{1}{{10}}$

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

${S_5} = \frac{{\frac{1}{{10}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)}^5}} \right]}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 0{,}1111$.

Lời giải

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp $- \frac{1}{{10}}$ lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 5 và công bội q = – 0,5.

b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp $- \frac{1}{3}$ số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = – 9 và công bội $q = - \frac{1}{3}$.

c) Ta có: $\frac{8}{2} = \frac{{32}}{8} = \frac{{256}}{{64}} \ne \frac{{64}}{{32}}$

Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = - \frac{3}{4}{.2^{n + 1}}$

Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \left( { - \frac{3}{4}{{.2}^{n + 1}}} \right):\left( { - \frac{3}{4}{{.2}^n}} \right) = 2$

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

b) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{5}{{{3^{n + 1}}}}$

Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{5}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{5}{{{3^n}}} = \frac{1}{3}$.

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

c) Ta có: u$_{n+1}$ = (– 0,75)$^{n+1}$.

Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = {\left( { - 0{,}75} \right)^{n + 1}}:{\left( { - 0{,}75} \right)^n} = - 0{,}75$.

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có (u$_{n}$) là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = – 5 và công bội q = 2 có số hạng tổng quát là: u$_{n}$ = – 5.2$^{n-1}$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

b) Xét u$_{n}$ = – 5.2$^{n-1}$ = – 320

⇔ 2$^{n-1}$ = 64

⇔ n – 1 = 6

⇔ n = 7.

Vậy số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

c) Xét u$_{n}$ = – 5.2$^{n-1}$ = 160

⇔ 2$^{n-1}$ = – 32

⇔ n – 1 = – 5

⇔ n = – 4 ∉ ℕ*

Vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có u$_{3}$ = u$_{1}$.q$^{2}$

Xét ${q^2} = \frac{{{u_3}}}{{{u_1}}} = \frac{{\frac{{27}}{4}}}{3} = \frac{9}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = - \frac{3}{2}\\q = \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

+) Với $q = - \frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u$_{1}$ = 3, u$_{2}$ = $3.\left( { - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{9}{4}$; ${u_3} = \frac{{27}}{4}$; u$_{4}$ = $3.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^3} = - \frac{{81}}{8}$; u$_{5}$ = $3.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^4} = \frac{{243}}{{16}}$.

+) Với $q = \frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u$_{1}$ = 3, u$_{2}$ = $3.\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{9}{4}$; ${u_3} = \frac{{27}}{4}$; u$_{4}$ = $3.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^3} = \frac{{81}}{8}$; u$_{5}$ = $3.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^4} = \frac{{243}}{{16}}$.

b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 3 và công bội $q = - \frac{3}{2}$ là: ${S_{10}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( { - \frac{3}{2}} \right)}} \approx - 68$.

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 3 và công bội $q = \frac{3}{2}$ là: ${S_{10}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( {\frac{3}{2}} \right)}} \approx 340$.

Lời giải

a) Ta có dãy (u$_{n}$) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là u$_{0}$ = 2 triệu dân và công sai q = 1 + 1% = 1,01.

Khi đó số hạng tổng quát của u$_{n}$ = 2.1,01$^{n-1}$ (triệu dân).

Vậy công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020 là: u$_{n}$ = 2.1,01$^{n}$$^{–}$$^{1}$ (triệu dân).

b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

u$_{11}$ = 2.1,01$^{11-1}$ ≈ 2,21 (triệu dân).

Lời giải

a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u$_{1}$ = 800 – 800.4% = 800.(1 – 4%) = 768 (triệu đồng).

Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u$_{1}$ = 800.(1 – 4%) – 800.(1 – 4%).4% = 800.(1 – 4%)$^{2}$ = 737,28 (triệu đồng).

b) Gọi u$_{n}$ là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số (u$_{n}$) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u$_{0}$ = 800 triệu đồng và công bội q = 1 – 4%.

Khi đó công thức tổng quát để tính u$_{n}$ = 800.(1 – 4%)$^{n}$.

c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:

u$_{10}$ = 800.(1 – 4%)$^{10}$ ≈ 531,87 (triệu đồng).

Lời giải

Gọi u$_{n}$ là độ dài dây kéo sau n lần rơi xuống (n ∈ ℕ)

Ta có: u$_{0}$ = 100 (m).

Sau lần rơi đầu tiên độ dài dây kéo còn lại là: u$_{1}$ = 100.75% (m).

Sau cú nhảy tiếp theo độ dài dây kéo còn lại là: u$_{2}$ = 100.75%.75% = 100.(75%)$^{2}$ (m).

...

Dãy số này lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội q = 0,75%, có công thức tổng quát u$_{n}$ = 100.(0,75%)$^{n-1}$ (m).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là:

${S_{10}} = \frac{{100\left( {1 - {{\left( {75\% } \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - 75\% }} \approx 377{,}5$ (m).