Giải SGK Toán 11 CD Bài 1. Giới hạn của dãy số có đáp án

Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A – sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A$_{1}$ cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí của rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (u$_{n}$), với u$_{n}$ = $\frac{1}{n}$ trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị u$_{n}$ khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng u$_{n}$ nào của dãy số thì khoảng cách từ u$_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Chứng minh rằng:

a) lim 0 = 0;

b) $\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0$.

Cho hai dãy số (u$_{n}$), (v$_{n}$) với u$_{n}$ = $8 + \frac{1}{n}$; v$_{n}$ = $4 - \frac{2}{n}$.

a) Tính limu$_{n}$, limv$_{n}$.

b) Tính lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) và so sánh giá trị đó với tổng limu$_{n}$ + limv$_{n}$.

c) Tính lim(u$_{n}$.v$_{n}$) và so sánh giá trị đó với tổng limu$_{n}$.limv$_{n}$.

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}}$;

b) $\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}$.

Cho cấp số nhân (u$_{n}$), với u$_{1}$ = 1 và công bội $q = \frac{1}{2}$.

a) Hãy so sánh |q| với 1.

b) Tính S$_{n}$ = u$_{1}$ + u$_{2}$ + ... + u$_{n}$. Từ đó, hãy tính limS$_{n}$.

Cho hai dãy số (u$_{n}$), (v$_{n}$) với u$_{n}$ = 3 + $\frac{1}{n}$, v$_{n}$ = 5 – $\frac{2}{{{n^2}}}$. Tính các giới hạn sau:

a) limu$_{n}$, limv$_{n}$;

b) lim(u$_{n}$ + v$_{n}$), lim(u$_{n}$ – v$_{n}$), lim(u$_{n}$.v$_{n}$), lim$\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$.

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}}$;

b) $\lim \frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}}$;

c) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}}$;

d) $\lim \left( {2 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)$;

e) $\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}}$;

g) $\lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}}$.

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u$_{n}$), với ${u_1} = \frac{2}{3},q = - \frac{1}{4}$.

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích S$_{n}$ của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân ra thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).

Gọi u$_{n}$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát u$_{n}$ của dãy số (u$_{n}$).

b) Chứng minh rằng (u$_{n}$) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10$^{– 6}$ g.

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C$_{1}$ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{{AB}}{2}$.

C$_{2}$ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{{AB}}{4}$, ...

C$_{n}$ là đường gồm 2$^{n}$ nửa đường tròn đường kính $\frac{{AB}}{{{2^n}}},...$(Hình 4).

Gọi P$_{n}$là độ dài của C$_{n}$, S$_{n}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C$_{n}$ và đoạn thẳng AB.

a) Tính p$_{n}$, S$_{n}$.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p$_{n}$) và (S$_{n}$).