20 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Giới hạn của dãy số có đáp án

Ta có ${\mathop{\rm li}\nolimits} {\rm{m}}\frac{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{n + 8}}}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{n}}}}}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{8}}}{{\rm{n}}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{1}}}}}{\rm{ = 1}}$

Đáp án cần chọn là: B

$${\rm{lim}}\frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{{\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}} - {\rm{10}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{10}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{10}}$$

Đáp án cần chọn là: B

Dễ thấy ${\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}$ nên A đúng

Do $\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{\rm{n}}}}}{{\rm{n}}}} \right| \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}$ và ${\rm{lim}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}$

Theo nguyên lý kẹp suy ra, ${\rm{lim}}{{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có ${\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}{\rm{ < }}{{\rm{2}}^{\rm{n}}}$

Khi ${\rm{n}} \to \infty \Rightarrow {2^{\rm{n}}} < {3^{\rm{n}}}$ do đó ${\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}{\rm{ < }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} \Rightarrow \frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)}}{{\rm{2}}}{\rm{ < }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}}$

Ta có ${\rm{lim}}\sqrt {{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{n + 2}}} {\rm{ = lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} \sqrt {{\rm{2}} - \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}}$

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} {\rm{ = + }}\infty }\\{{\rm{0}} \le \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}} \le \frac{{\rm{n}}}{{{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}}} = \frac{{\rm{n}}}{{\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - 1} \right)}}{2}}}}\\{{\rm{lim}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = 0}}}\end{array}} \right. = \frac{2}{{{\rm{n}} - 1}} \to 0 \Rightarrow {\rm{lim}}\frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = 0}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} {\rm{ = + }}\infty }\\{{\rm{lim}}\sqrt {{\rm{2}} - \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}} + 2 + \frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}} {\rm{ = }}\sqrt 2 > 0}\end{array}} \right.$

$$\Rightarrow \lim \sqrt {{{2.3}^{\rm{n}}} - {\rm{n}} + 2} = + \infty$$

Đáp án cần chọn là: D

</></>

Ta có $0 \le \left| {\frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}}} \right| \le \left| {\frac{{\left( {{3^2} + {4^2}} \right).\left( {{{\sin }^2}{\rm{n}} + {{\cos }^2}{\rm{n}}} \right)}}{{{\rm{n}} + 1}}} \right| = \frac{5}{{{\rm{n}} + 1}} \to 0$

Theo nguyên lý kẹp ta suy ra $\lim \frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}} = 0$

Đáp án cần chọn là: B