Giải SGK Toán 11 CD Bài 1. Giới hạn của dãy số có đáp án

Lời giải

Giới hạn hữu hạn của hàm số có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng. Trong bài học ngày hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về điều đó.

Lời giải

a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của u$_{n}$ càng giảm dần về 0.

b) Ta có bảng:

Kể từ số hạng u$_{1001}$ trở đi thì khoảng cách từ u$_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001.

Kể từ số hạng u$_{10 001}$ trở đi thì khoảng cách từ u$_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,0001.

Lời giải

a) Ta có: u$_{n}$ = 0 với mọi n ∈ ℕ*

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

|u$_{n}$ – 0| < ε với mọi n ∈ ℕ*

Vậy lim 0 = 0.

b) Ta có: u$_{n}$ = $\frac{1}{{\sqrt n }}$ với mọi n ∈ ℕ*

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

|u$_{n}$ – 0| < ε ⇔ $\left| {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right| < \varepsilon \Leftrightarrow \sqrt n > \frac{1}{\varepsilon } \Leftrightarrow n > \frac{1}{{{\varepsilon ^2}}}$.

Chọn N ≥ $\frac{1}{{{\varepsilon ^2}}}$ thì với mọi n >N ta có: $\left| {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right| < \varepsilon$

Vì vậy $\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0$.

Lời giải

Ta có: u$_{n}$ – 2 = 2 + $\frac{1}{n}$ – 2 = $\frac{1}{n}$

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

|u$_{n}$ – 0| < ε ⇔ $\left| {\frac{1}{n}} \right| < \varepsilon \Leftrightarrow n > \frac{1}{\varepsilon }$.

Chọn N ≥ $\frac{1}{\varepsilon }$ thì với mọi n > N ta có: $\left| {\frac{1}{n}} \right| < \varepsilon$

Vì vậy $\lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0$.

Lời giải

Đặt u$_{n}$ =$\frac{{ - 4n + 1}}{n}$, suy ra u$_{n}$ – 4 = $\frac{{ - 4n + 1}}{n} - \left( { - 4} \right) = \frac{1}{n}$

Do đó $\lim \left( {{u_n} - \left( { - 4} \right)} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0$.

$\Rightarrow \lim {u_n} = - 4$.

Lời giải

Ta có $\frac{e}{\pi } < 1$ do đó $\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0$.

Lời giải

a) Ta có: $\lim \left( {{u_n} - 8} \right) = \lim \left( {8 + \frac{1}{n} - 8} \right) = 0$.

Do đó limu$_{n}$ = 8.

Ta có: $\lim \left( {{v_n} - 4} \right) = \lim \left( {4 - \frac{2}{n} - 4} \right) = 0$

Do đó limv$_{n}$ = 4.

b) limu$_{n}$ + limv$_{n}$ = 8 + 4 = 12.

Ta có: u$_{n}$ + v$_{n}$ = $8 + \frac{1}{n} + 4 - \frac{2}{n} = 12 - \frac{1}{n}$

Ta lại có: $\lim \left( {{u_n} + {v_n} - 12} \right) = \lim \left( {12 - \frac{1}{n} - 12} \right) = 0$

Suy ra lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) = 12.

Vì vậy lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) = limu$_{n}$ + limv$_{n}$.

b) Ta có: u$_{n}$.v$_{n}$ = $\left( {8 + \frac{1}{n}} \right)\left( {4 - \frac{2}{n}} \right) = 32 - \frac{{12}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}$.

Khi đó lim(u$_{n}$.v$_{n}$ – 32) = $\lim \left( {32 - \frac{{12}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}} - 32} \right) = 0$.

Ta lại có: limu$_{n}$.limv$_{n}$ = 8.4 = 32.

Vì vậy limu$_{n}$.limv$_{n}$ = lim(u$_{n}$v$_{n}$).

Lời giải

a) $\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}} = \lim \left( {8 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 8 + \lim \frac{1}{n} = 8$.

b) $\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n} = \lim \sqrt {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} = \sqrt {\lim \left( {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} \right)} = 1$.

Lời giải

a) Ta có: |q| = $\frac{1}{2}$ < 1.

b) Ta có: (u$_{n}$) là cấp số nhân lùi vô hạn có tổng n số hạng đầu tiên là:

${S_n} = \frac{{1.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]$

$\lim {S_n} = \lim 2\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2.\lim \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = 2$.

Lời giải

Ta có dãy số 1; $- \frac{1}{2}$; $\frac{1}{{{2^2}}}$; ...; ${\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$; ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công bội q = $- \frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1.

Do đó ta có: $M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ... = \frac{1}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}} = \frac{2}{3}$.

Lời giải

Giả sử vận tốc của Asin gấp đôi vận tốc của chú rùa và khoảng cách lúc đầu là a.

Khi Asin chạy được a thì chú rùa chạy được $\frac{a}{2}$.

Khi Asin chạy tiếp được $\frac{a}{2}$ thì chú rùa chạy được $\frac{a}{4}$.

Do đó tổng quãng đường Asin phải chạy để đuổi kịp chú rùa là:

$a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + ...$

Theo lập luận của Asin tổng này là tổng vô hạn nên không bao giờ Asin đuổi kịp chú rùa.

Tuy nhiên các số hạng của tổng này lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = a và công bội q = $\frac{1}{2}$ < 1.

Nên ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng:

$S = a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + ... = \lim \frac{{a\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2a$.

Vì vậy tổng này là hữu hạn do đó Asin hoàn toàn có thể chạy để đuổi kịp rùa.

Lời giải

Ta có bảng giá trị sau:

Từ đó ta có các nhận xét sau:

+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì u$_{n}$> 1 .

+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì u$_{n}$ > 10 000.

...

Vậy ta thấy u$_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải

Xét dãy số (u$_{n}$) = n$^{3}$.

Với M là số dương bất kì, ta thấy u$_{n}$ = n$^{3}$ > m ⇔ n > $\sqrt[3]{M}$.

Suy ra với các số tự nhiên n > $\sqrt[3]{M}$ thì u$_{n}$ > M. Do đó limn$^{3}$ = +∞.

Vậy limn$^{3}$ = – ∞.

Lời giải

Ta có:

Đặt u$_{n}$ = n – 1 và ${v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}$, khi đó limu$_{n}$ = +∞ và $\lim {v_n} = \lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0$.

Vậy $\lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 0$.

Lời giải

a) Ta có:

limu$_{n}$ = lim(3 + $\frac{1}{n}$) = lim3 + $\lim \frac{1}{n}$ = 3 + 0 = 3.

limv$_{n}$ = lim(5 – $\frac{2}{{{n^2}}}$) = lim5 – lim$\frac{2}{{{n^2}}}$ = 5 – 0 = 5.

b) lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) = limu$_{n}$ + limv$_{n}$ = 3 + 5 = 8.

lim(u$_{n}$ – v$_{n}$) = limu$_{n}$ – limv$_{n}$ = 3 – 5 = – 2.

lim(u$_{n}$.v$_{n}$) = limu$_{n}$.limv$_{n}$ = 3.5 = 15.

lim$\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$= $\frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{5}$.

Lời giải

a) $\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}} = \lim \left( {\frac{5}{2} + \frac{1}{{2n}}} \right) = \lim \frac{5}{2} + \lim \frac{1}{{2n}} = \frac{5}{2}$.

b) $\lim \frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}} = \lim \frac{{6 + \frac{8}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{5 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{{\lim \left( {6 + \frac{8}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\lim \left( {5 + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{6}{5}$.

c) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{6 + \frac{2}{n}}} = \frac{{\lim \sqrt {1 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{\lim \left( {6 + \frac{2}{n}} \right)}} = \frac{1}{6}$.

d) $\lim \left( {2 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \lim 2 - \lim {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 2 - 0 = 2$.

e) $\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{4} = \frac{{\lim \left[ {1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right]}}{{\lim 4}} = \frac{1}{4}$.

g) $\lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}} = \frac{{\lim \left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{{\lim {3^n}}} = 0$.

Lời giải

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u$_{n}$), với ${u_1} = \frac{2}{3},q = - \frac{1}{4}$ là:

$S = \lim \frac{{\frac{2}{3}\left[ {1 - {{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \left( { - \frac{1}{4}} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{5}{4}}} = \frac{8}{{15}}$.

b) Ta có:

1,(6) = 1 + 0,(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ...

Dãy số 0,6; 0,006; 0,0006; ... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 0,6 và công bội q = $\frac{1}{{10}}$ có |q| < 1 nên ta có:

0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ... = $\frac{{0{,}6}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra 1,(6) = 1 + $\frac{2}{3}$ = $\frac{5}{3}$.

Lời giải

a) Gọi S$_{n}$ là diện tích của hình vuông thứ n.

Ta có: S$_{1}$ = 1; S$_{2}$ = $\frac{1}{2}$; S$_{3}$ = ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$; ...

Dãy (S$_{n}$) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu S$_{1}$ = 1 và công bội q = $\frac{1}{2}$ có công thức tổng quát là: Sn = ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$.

b) Ta có: $\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1$ nên dãy (S$_{n}$) trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có:

$S = 1 + \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2$.

Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).

Lời giải

a) Ta có: u$_{1}$ = 1; u$_{2}$ = $\frac{1}{2}$; u$_{3}$ = ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$; ...

Suy ra (u$_{n}$) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và q = $\frac{1}{2}$ có số hạng tổng quát là: ${u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$.

b) Ta có: $\lim {u_n} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = 0$.

c) Đổi ${u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}kg = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}{.10^3}g$

Để chất phóng xạ bé hơn 10$^{-6}$ (g) thì ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}{.10^3} < {10^{ - 6}} \Leftrightarrow n > 31$.

Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720 000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.

Lời giải

a)

+) Ta có: p$_{1}$ = $\frac{{\pi R}}{2}$; p$_{2}$ = $\frac{{\pi R}}{4} = \frac{{\pi R}}{{{2^2}}}$; p$_{3}$ = $\frac{{\pi R}}{8} = \frac{{\pi R}}{{{2^3}}}$; ...

(p$_{n}$) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p$_{1}$ = $\frac{{\pi R}}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2} < 1$ có số hạng tổng quát p$_{n}$ = $\frac{{\pi R}}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$.

+) Ta có: C$_{1}$ = $\frac{{\pi {R^2}}}{4}$; C$_{2}$ = $\frac{{\pi {R^2}}}{{{4^2}}}$; C$_{3}$ = $\frac{{\pi {R^3}}}{{{4^3}}}$; ...

(C$_{n}$) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C$_{1}$ = $\frac{{\pi {R^2}}}{4}$ và công bội $q = \frac{1}{4} < 1$ có số hạng tổng quát C$_{n}$ = $\frac{{\pi R}}{4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}$.