Giải SBT Toán 9 KNTT Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng có đáp án

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: $\cos C=\frac{AC}{BC}$.

Xét tam giác HAC vuông tại H ta có: $\cos C=\frac{HC}{AC}$.

Suy ra $\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}$, hay AC$^{2}$ = BC . HC (đpcm).

Xét tam giác vuông ABH có $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}$.

Xét tam giác vuông CAH có $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{CH}$.

Vì hai góc BAH và CAH là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên ta có:

$\tan \widehat{ABH}=\cot \widehat{ACH}=\frac{1}{\tan \widehat{ACH}}$, hay $\frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}$.

Suy ra AH$^{2}$ = BH . CH (đpcm)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}$.

Xét tam giác ACH vuông tại H ta có: $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{HC}$.

Vì $\widehat{ABH}$ và $\widehat{ACH}$ là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên:

$\tan \widehat{ABH}=\cot \widehat{ACH}=\frac{1}{\tan \widehat{ACH}}$ hay $\frac{AH}{BH}=\frac{HC}{AH}$.

Suy ra AH$^{2}$ = BH . CH (đpcm).

Vì hai góc B và C của tam giác ABC đều nhọn nên đường cao AH có chân đường cao H nằm giữa B và C.

Gọi h (cm) là độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}$ hay $\tan 38^{\circ}=\frac{h}{BH}$, suy ra $BH=\frac{h}{\tan 38^{\circ}}$.

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{CH}$ hay $\tan 30^{\circ}=\frac{h}{CH}$, suy ra $CH=\frac{h}{\tan 30^{\circ}}$.

Ta có: $BC=BH+CH$

Hay $11=\frac{h}{\tan 38^{\circ}}+\frac{h}{\tan 30^{\circ}}=h(\frac{1}{\tan 38^{\circ}}+\frac{1}{\tan 30^{\circ}})$

Do đó $h=\frac{11}{\frac{1}{\tan 38^{\circ}}+\frac{1}{\tan 30^{\circ}}}\approx 3{,}652$ (cm).

Vậy AH ≈ 3,652 cm.