Giải SBT Toán 9 KNTT Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng có đáp án

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: $\cos C=\frac{AC}{BC}$.

Xét tam giác HAC vuông tại H ta có: $\cos C=\frac{HC}{AC}$.

Suy ra $\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}$, hay AC$^{2}$ = BC . HC (đpcm).

Xét tam giác vuông ABH có $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}$.

Xét tam giác vuông CAH có $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{CH}$.

Vì hai góc BAH và CAH là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên ta có:

$\tan \widehat{ABH}=\cot \widehat{ACH}=\frac{1}{\tan \widehat{ACH}}$, hay $\frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}$.

Suy ra AH$^{2}$ = BH . CH (đpcm)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}$.

Xét tam giác ACH vuông tại H ta có: $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{HC}$.

Vì $\widehat{ABH}$ và $\widehat{ACH}$ là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên:

$\tan \widehat{ABH}=\cot \widehat{ACH}=\frac{1}{\tan \widehat{ACH}}$ hay $\frac{AH}{BH}=\frac{HC}{AH}$.

Suy ra AH$^{2}$ = BH . CH (đpcm).

Vì hai góc B và C của tam giác ABC đều nhọn nên đường cao AH có chân đường cao H nằm giữa B và C.

Gọi h (cm) là độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}$ hay $\tan 38^{\circ}=\frac{h}{BH}$, suy ra $BH=\frac{h}{\tan 38^{\circ}}$.

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{CH}$ hay $\tan 30^{\circ}=\frac{h}{CH}$, suy ra $CH=\frac{h}{\tan 30^{\circ}}$.

Ta có: $BC=BH+CH$

Hay $11=\frac{h}{\tan 38^{\circ}}+\frac{h}{\tan 30^{\circ}}=h(\frac{1}{\tan 38^{\circ}}+\frac{1}{\tan 30^{\circ}})$

Do đó $h=\frac{11}{\frac{1}{\tan 38^{\circ}}+\frac{1}{\tan 30^{\circ}}}\approx 3{,}652$ (cm).

Vậy AH ≈ 3,652 cm.

Vì AN và PM cùng vuông góc với MN nên AN // PM.

Vì AN // PM nên $\widehat{BAN}=\widehat{BPM}=α$.

Xét tam giác BAN vuông tại N ta có:

$BN=AB\sin \widehat{BAN}=AB.\sin α$

Xét tam giác BPM vuông tại M ta có:

$BM=PM.\tan \widehat{BPM}=p.\tan α$

Ta có: BM – BN = MN

p . tan α – AB . sinα = n

AB . sinα = p . tanα – n

$AB=\frac{p.\tan α-n}{\sin α}$ (đpcm).

Gọi C là chân tòa nhà, D là điểm trên nóc tòa nhà, A là điểm đặt mắt giác kế.

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD, ta có:

CH = 1,7 m, AH = 100 m, $\widehat{DAH}=15^{\circ}$.

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có:

$HD=AH.\tan \widehat{DAH}=100.\tan 15^{\circ}$

Do đó CD = CH + HD = 1,7 + 100 . tan 15° ≈ 28,5 (m)

Vậy tòa nhà cao xấp xỉ 28,5 m.

Gọi vị trí của khẩu pháo cao xạ là A, vị trí máy bay là B, C là vị trí hình chiếu của máy bay với mặt đất.

Khi đó ta có: BC = 1 800 m, $\widehat{BAC}=35^{\circ}$, khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay là độ dài đoạn AB.

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:

$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{1\ 800}{\sin 35^{\circ}}\approx 3\ 138$ (m).

Vậy khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay xấp xỉ bằng 3 138 m.

Gọi vị trí đài quan sát là A, vị trí chân đài quan sát là H, vị trí con tàu là B.

Khi đó ta có: AH = 300 m, $\widehat{ABH}=25^{\circ}$, khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát là đoạn BH.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$BH=AH.\cot \widehat{ABH}=300.\cot 25^{\circ}\approx 643$ (m).

Vậy khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát xấp xỉ 643 m.