Giải SBT Toán 12 Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

a) Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (1; 2; −1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và đường thẳng AB đi qua A(0; 0; 2) nên phương trình tham số của đường thẳng AB là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$.

b) Theo đề bài, đường thẳng d song song với đường thẳng AB nên $\overrightarrow {AB}$ = (1; 2; −1) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và đường thẳng d đi qua C(2; 3; 4).

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng d $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 2t\\z = 4 - t\end{array} \right.$.

a) Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên $\overrightarrow {{n_P}}$ = (2; −3; −1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d, phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - 3t\\z = - 2 - t\end{array} \right.$.

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Do I thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I có dạng I(1 + 2t; −1 – 3t; −2 – t), mà I cũng thuộc (P) nên ta có:

2(1 + 2t) – 3(−1 – 3t) – (−2 – t) + 2 = 0

⇔ 14t + 9 = 0

⇔ t = $- \frac{9}{{14}}$.

Do đó, I$\left( { - \frac{2}{7};\frac{{13}}{{14}}; - \frac{{19}}{{14}}} \right)$.

a) Theo đề, I là giao của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Gọi I(2 + 3t; −1 – t; – 3 + 2t), thay vào phương trình mặt phẳng (P) được

2 + 3t – (−1 – t) – (−3 + 2t) = 0

⇔ 2t + 6 = 0

⇔ t = −3.

Vậy I(−7; 2; −9).

b) Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}}$ = (1; −1; −1), vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow {{u_d}}$ = (3; −1; 2).

Do d*'* nằm trên (P), cắt đường thẳng d và vuông góc với d nên đường thẳng d*'* đi qua điểm I(−7; 2; −9) và nhận $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&1\\2&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 1}\\3&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)$ = (−1; −5; 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d*'* là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 7 - t\\y = 2 - 5t\\z = - 9 + 2t\end{array} \right.$.

a) Ta có: $\overrightarrow {{u_d}}$ = (2; 1; −3) và $\overrightarrow {{u_{d'}}}$= (−2; −1; 3) = −1(2; 1; −3) là hai vectơ cùng phương và điểm A(1; −2; 4) thuộc đường thẳng d nhưng không thuộc d*'* (do thay A và d*'* thì hệ $\left\{ \begin{array}{l}1 - 2s = 1\\2 - s = - 2\\5 + 3s = 4\end{array} \right.$ vô nghiệm).

Do đó, d ∥ d*'*.

b) Ta có: $\overrightarrow {{u_d}}$ = (2; 1; −3).

Lấy A(1; −2; 4) ∈ d và B(1; 2; 5) ∈ d*'* ⇒ $\overrightarrow {AB}$ = (0; 4; 1).

Do (P) chứa hai đường thẳng d và d*'* nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

$\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 3}\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&2\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\0&4\end{array}} \right|} \right)$ = (13; −2; 8).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

13(x – 1) – 2(y + 2) + 8(z – 4) = 0

⇔ 13x – 2y + 8z – 49 = 0.

Ta có: $\overrightarrow {{u_d}}$ = (−1; 1; 2), $\overrightarrow {{u_{d'}}}$ = (3; 2; −1) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và d*'*.

Đường thẳng d đi qua A(1; 2; −3), đường thẳng d*'* đi qua B(−2; −1; 0)

⇒ $\overrightarrow {AB}$ = (−3; −3; 3).

Có $\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 1}\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&1\\3&2\end{array}} \right|} \right)$ = (−5; 5; −5).

Ta được $\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right].\overrightarrow {AB}$ = −5.(−3) + 5.(−3) + 3.(−5) = −15 ≠ 0.

Vậy hai đường thẳng d và d*'* chéo nhau.