Giải SBT Toán 10 Bài 9. Tích của một vectơ với một số có đáp án

Lời giải

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD}$

+) E là trung điểm của AC nên $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE}$

Do đó $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right) = 2\overrightarrow {AD}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD}$$

$$\Rightarrow 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD}$$

$$\Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {BE}$$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

+) Vì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD}$ nên $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}$

Mà $\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

+) $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right) - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)$

$$\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE}$$

Vậy $\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} ;$ $\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE}$ và $\overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} .$

Lời giải

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

OC = AB

Mà AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$(định lí Pythagoras)

AB$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

$\Rightarrow OC = AB = a\sqrt 2$

+) Có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC}$ (quy tắc hình bình hành)

$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = a\sqrt 2$$

+) Có: $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = a\sqrt 2$

+) Lấy điểm D sao cho $\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OB}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {OD}$, $\overrightarrow {OB}$ cùng hướng và OD = 2OB.

Có: $\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD}$

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE}$

$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE$$

Mà OE$^{2}$ = OD$^{2}$ + DE$^{2}$ (định lí Pythagoras)

OE$^{2}$ = (2OB)$^{2}$ + OA$^{2}$

OE$^{2}$ = (2a)$^{2}$ + a$^{2}$ = 5a$^{2}$

$$\Rightarrow OE = a\sqrt 5$$

Do đó $\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5$

+) Lấy điểm G sao cho $\overrightarrow {OG} = 2\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OB}$

Khi đó: hai vectơ $\overrightarrow {OG}$, $\overrightarrow {OA}$ cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ $\overrightarrow {OH}$, $\overrightarrow {OB}$ cùng hướng và OH = 3OB.

Có: $2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} - \overrightarrow {OH}$

$= \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {HO}$ $= \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OG}$

$= \overrightarrow {HG}$

$\Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HG} } \right| = HG$

Mà HG$^{2}$ = OG$^{2}$ + OH$^{2}$ (định lí Pythagoras)

HG$^{2}$ = (2OA)$^{2}$ + (3OB)$^{2}$

HG$^{2}$ = (2a)$^{2}$ + (3a)$^{2}$

HG$^{2}$ = 13a$^{2}$

$\Rightarrow HG = a\sqrt {13}$

Do đó $\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .$

Vậy $\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;$$\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;$$\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5$ và $\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .$

**

Lời giải

Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ$

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

BH /// CD và CH // BD

BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

OM // AH và $AH = 2.OM$ (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ $\overrightarrow {AH}$ và $\overrightarrow {OM}$ có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ dài: $\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .$$

Vậy $\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .$

Lời giải

Vì

M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM}$

Mà $\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}$ (câu a)

$$\Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AH}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .$$

Vậy $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .$

Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .$

Mà $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}$ (câu b)

Suy ra $\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG}$

Khi đó $\overrightarrow {OH}$ và $\overrightarrow {OG}$ cùng phương, cùng hướng

O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.