Giải SBT Toán 10 Bài 9. Tích của một vectơ với một số có đáp án

Lời giải

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD}$

+) E là trung điểm của AC nên $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE}$

Do đó $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right) = 2\overrightarrow {AD}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD}$$

$$\Rightarrow 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD}$$

$$\Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {BE}$$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

+) Vì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD}$ nên $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}$

Mà $\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$

+) $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right) - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)$

$$\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE}$$

Vậy $\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} ;$ $\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE}$ và $\overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} .$

Lời giải

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

OC = AB

Mà AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$(định lí Pythagoras)

AB$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

$\Rightarrow OC = AB = a\sqrt 2$

+) Có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC}$ (quy tắc hình bình hành)

$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = a\sqrt 2$$

+) Có: $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = a\sqrt 2$

+) Lấy điểm D sao cho $\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OB}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {OD}$, $\overrightarrow {OB}$ cùng hướng và OD = 2OB.

Có: $\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD}$

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE}$

$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE$$

Mà OE$^{2}$ = OD$^{2}$ + DE$^{2}$ (định lí Pythagoras)

OE$^{2}$ = (2OB)$^{2}$ + OA$^{2}$

OE$^{2}$ = (2a)$^{2}$ + a$^{2}$ = 5a$^{2}$

$$\Rightarrow OE = a\sqrt 5$$

Do đó $\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5$

+) Lấy điểm G sao cho $\overrightarrow {OG} = 2\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OB}$

Khi đó: hai vectơ $\overrightarrow {OG}$, $\overrightarrow {OA}$ cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ $\overrightarrow {OH}$, $\overrightarrow {OB}$ cùng hướng và OH = 3OB.

Có: $2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} - \overrightarrow {OH}$

$= \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {HO}$ $= \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OG}$

$= \overrightarrow {HG}$

$\Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HG} } \right| = HG$

Mà HG$^{2}$ = OG$^{2}$ + OH$^{2}$ (định lí Pythagoras)

HG$^{2}$ = (2OA)$^{2}$ + (3OB)$^{2}$

HG$^{2}$ = (2a)$^{2}$ + (3a)$^{2}$

HG$^{2}$ = 13a$^{2}$

$\Rightarrow HG = a\sqrt {13}$

Do đó $\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .$

Vậy $\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;$$\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;$$\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5$ và $\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .$

**

Lời giải

Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ$

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

BH /// CD và CH // BD

BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

OM // AH và $AH = 2.OM$ (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ $\overrightarrow {AH}$ và $\overrightarrow {OM}$ có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ dài: $\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .$$

Vậy $\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .$

Lời giải

Vì

M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM}$

Mà $\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}$ (câu a)

$$\Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AH}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .$$

Vậy $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .$

Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .$

Mà $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}$ (câu b)

Suy ra $\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG}$

Khi đó $\overrightarrow {OH}$ và $\overrightarrow {OG}$ cùng phương, cùng hướng

O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Lời giải

Với điểm O bất kì ta có:

+) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM}$ (do M là trung điểm của AB)

+) $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON}$ (do N là trung điểm của CD)

+) $\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow {OI}$ (do I là trung điểm của MN)

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON}$

$= 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = 2.2\overrightarrow {OI} = 4\overrightarrow {OI}$

Vậy với điểm O bất kì đều có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI} .$

Lời giải

+)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

MN // AC và $MN = \frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình)

Do đó $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$(1)

Chứng minh tương tự ta cũng có: $\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE}$(2)

Và $\overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA}$(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA}$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right)$ (quy tắc ba điểm)

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{AA}}}$(quy tắc ba điểm)

$= \frac{1}{2}.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0$

Do đó $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0$

+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: $\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {QG'} + \overrightarrow {SG'} = \overrightarrow 0$ hay $\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} = \overrightarrow 0$

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

+) $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} ;$

+) $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'Q} ;$

+) $\overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'S} ;$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} + 3.\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S}$

$= \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + 3.\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} } \right)$

$= \overrightarrow 0 + 3.\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0$

$= 3.\overrightarrow {GG'}$

+) Lại có $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0$ (chứng minh trên)

Nên $3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0$

Suy ra G và G' trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải

Qua M,

kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 60^\circ$

Mà PQ // AB nên $\widehat {MQK} = \widehat {ABC} = 60^\circ ,$

HK // AC nên $\widehat {MKQ} = \widehat {ACB} = 60^\circ$

Tam giác MQK có: $\widehat {MQK} = \widehat {MKQ} = 60^\circ$ nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

$\Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} = 2\overrightarrow {MD}$(1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) $\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MF}$(2)

+) $\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {ME}$(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {MF} + 2\overrightarrow {ME}$

$$\Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \left( {\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MI} } \right) + \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} } \right)$$

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB}$

Tương tự ta có $\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} = \overrightarrow {MC} ;\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA}$

Khi đó $2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} } \right)$$

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MO}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .$$

Vậy $\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .$

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} } \right)$

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: $\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MK}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = 2.2\overrightarrow {MK} = 4\overrightarrow {MK} .$$

Mà $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .$

Do đó $4\overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0$

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

Lời giải

Ta có: $4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 4\overrightarrow {NA} - 2\left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {NC}$

$$= 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {NC}$$

$$= 2\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {NC}$$

$$= \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} } \right)$$

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó $\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {NH}$

$$\Rightarrow 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + 2.\overrightarrow {NH}$$

$$= \left( {\overrightarrow {NA} + 2.\overrightarrow {NH} } \right) - 2\overrightarrow {AB}$$

Giả sử P là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {PA} + 2.\overrightarrow {PH} = \overrightarrow 0$

Khi đó $\overrightarrow {NA} + 2.\overrightarrow {NH} = \left( {\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PH} } \right)$

$= 3\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {PH}$

$= 3\overrightarrow {NP} + \overrightarrow 0$

$= 3\overrightarrow {NP}$

$\Rightarrow 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NP} - 2\overrightarrow {AB}$

Mà $4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .$

Nên $3\overrightarrow {NP} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow 3\overrightarrow {NP} = 2\overrightarrow {AB}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {NP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$$

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $\overrightarrow {AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AQ}$$

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn $\overrightarrow {AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$ và P thỏa mãn $\overrightarrow {PA} + 2.\overrightarrow {PH} = \overrightarrow 0$, H là trung điểm của AC).

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KC} = 2\overrightarrow {KI}$và $\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = 2\overrightarrow {KH}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KC} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} } \right)$$

$= 2\overrightarrow {KI} + 2.2\overrightarrow {KH}$$= 2\overrightarrow {KI} + 4\overrightarrow {KH}$

Mà $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 .$

Nên $2\overrightarrow {KI} + 4\overrightarrow {KH} = \overrightarrow 0$

$$\Rightarrow 2\overrightarrow {KI} = - 4\overrightarrow {KH}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {KI} = - 2\overrightarrow {KH}$$

Khi đó $\overrightarrow {KI}$ và $\overrightarrow {KH}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và $\left| {\overrightarrow {KI} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {KH} } \right|$

Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.

Vậy ta có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0$ như hình vẽ.

Lời giải

Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {2MB} + 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} + 4\overrightarrow {MH}$

$= 2\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KI} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KH} } \right)$

$= 2\overrightarrow {MK} + 2\overrightarrow {KI} + 4\overrightarrow {MK} + 4\overrightarrow {KH}$

$= 6\overrightarrow {MK} + \left( {2\overrightarrow {KI} + 4\overrightarrow {KH} } \right)$

Mà $2\overrightarrow {KI} + 4\overrightarrow {KH} = \overrightarrow 0$ (câu a)

Nên $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {2MB} + 3\overrightarrow {MC} = 6\overrightarrow {MK}$

Lại có: $\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CB}$

Do đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {2MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|.$

$\Leftrightarrow \left| {6\overrightarrow {MK} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|$

6MK = CB

$\Leftrightarrow KM = \frac{{BC}}{6}$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng $\frac{{BC}}{6}$ như hình vẽ.

Lời giải

Trọng

lực $\overrightarrow P$ của vật và lực đẩy Archimedes $\overrightarrow F$ mà chất lỏng tác động lên vật được mô tả như hình vẽ trên.

Do vật ở trạng thái cân bằng nên hai lực $\overrightarrow P$và $\overrightarrow F$ ngược hướng nhau và có cường độ bằng nhau.

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right|$

Gọi d và d' là trọng lượng riêng của vật và chất lỏng;

V là thể tích của vật

Khi thả vật vào cốc chất lỏng thì ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng nên thể tích chất lỏng bị chiếm chỗ là $\frac{V}{2}.$

Khi đó trọng lượng của vật là: P = d.V

Và lực đẩy Archimedes mà chất lỏng tác động lên vật là: ${F_A} = d'.\frac{V}{2}.$

Do đó $\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| \Leftrightarrow d.V = d'.\frac{V}{2} \Leftrightarrow d = \frac{{d'}}{2} \Leftrightarrow \frac{d}{{d'}} = \frac{1}{2}.$

Vậy tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng bằng $\frac{1}{2}.$