TopStudy

Đáp án và lời giải

Giải SBT Toán 10 Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Do tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC ⇒ AB→.AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}} = 0;

Ta có: CB = AB2+AC2\sqrt{{\text{AB}}^{2}+{\text{AC}}^{2}} = a2+a2\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}= a2\sqrt{2}

Tam giác ABC vuông cân tại A nên ACB^\widehat{\text{ACB}} = 45°

Như vậy: AC→.CB→\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}} = −CA→.CB→-\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}} = −(CA→.CB→)-(\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}}) = −∣CA∣→.∣CB∣→.cos⁡45∘-\overrightarrow{|\text{CA}|}.\overrightarrow{|\text{CB}|}.\cos 45^{\circ} = – a. a2.22\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = –a2^{2}

Vậy AB→.AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}} = 0 và AC→.CB→\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}= –a2^{2}.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = a, AD = BC = 2a.

Ta có: AC = AB2+BC2\sqrt{{\text{AB}}^{2}+{\text{BC}}^{2}} = a2+(2a)2\sqrt{{\text{a}}^{2}+{(2\text{a})}^{2}} = a5\sqrt{5}.

Xét tam giác BAC vuông tại B, có: cosBAO^\widehat{\mathrm{BAO}} = cosBAC^\widehat{\mathrm{BAC}}= ABAC=a5a=15\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{1}{\sqrt{5}}.

ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC và BD

⇒ AO = 12\frac{1}{2}AC = a52\frac{\text{a}\sqrt{5}}{2}.

AB→.AO→\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AO}} = ∣AB∣→\overrightarrow{|\text{AB}|}. ∣AO∣→\overrightarrow{|\text{AO}|}. cosBAO^\widehat{\mathrm{BAO}} = a.a52\frac{\text{a}\sqrt{5}}{2}. 15\frac{1}{\sqrt{5}} = a22\frac{{\text{a}}^{2}}{2}.

Vậy AB→.AO→\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AO}} = a22\frac{{\text{a}}^{2}}{2}.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

b) Do ABCD là hình chữ nhật nên AB→\overrightarrow{\text{AB}}⊥ AD→\overrightarrow{\text{AD}} ⇒ AB→.AD→\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AD}} = 0.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Áp dụng công thức tính công ta có:

A = ∣F→∣|\overrightarrow{\text{F}}|. ∣d→∣|\overrightarrow{d}|. cos(F→,d→)(\overrightarrow{\text{F}}\text{,}\overrightarrow{\text{d}}) = 60.200.cos60° = 6000 (J).

Vậy công sinh bởi lực F→\overrightarrow{\text{F}} bằng 6000 J.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi hai vectơ lần lượt là v1→\overrightarrow{{\text{v}}_{\text{1}}}, v2→\overrightarrow{{\text{v}}_{2}} và góc giữa hai vectơ là α.

Ta có v1→\overrightarrow{{\text{v}}_{\text{1}}}. v2→\overrightarrow{{\text{v}}_{2}} = ∣v1→∣.∣v2→∣|\overrightarrow{{\text{v}}_{\text{1}}}|.|\overrightarrow{{\text{v}}_{2}}|.cos α = 6.8.cos α = 24

⇒ cos α = 12\frac{1}{2} ⇒ α = 60°.

Vậy góc giữa hai vectơ đề cho là 60°.