Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Sở Phú Thọ (có đáp án)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁC QUAN (3,0 điểm)

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$?

Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$.

Giá trị ${\rm{cos}}\widehat {MNP}$ bằng

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ và $\widehat {BOC} = 80^\circ$.

Số đo $\widehat {BAC}$ bằng

Thống kê chiều cao (đơn vị tính là cm) của 40 học sinh lớp 9A thu được bảng số liệu sau:

Số lượng học sinh có chiều cao từ 160 cm đến dưới 170 cm bằng

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)

(1,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 7\\2x + y = 8\end{array} \right.$.

b) Rút gọn biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{\sqrt a + 1}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt a - 1}}{2}$ với $a \ge 0,\,\,a \ne 1.$

(0,5 điểm) Một cốc thủy tinh chứa nước, bên trong có dạng hình trụ với bán kính đáy $R = 4$ cm. Chiều cao mực nước biển ban đầu bên trong cốc bằng 8 cm. Sau đó người ta thả từ từ một viên bi đặc không ngấm nước có dạng hình cầu bán kính $r = 3$ cm vào trong cốc sao cho viên bi chìm hoàn toàn trong nước và không tràn ra ngoài. Tính chiều cao theo đơn vị centimet của mực nước trong cốc sau khi thả viên bi.

(1,0 điểm) Một công ty nhận được đơn đặt hàng 4000 sản phẩm. Mỗi máy của công ty sản xuất được 50 sản phẩm trong một giờ. Khi thực hiện đơn hàng, mỗi giờ công ty cần trả 600 nghìn đồng chi phí cho nhân công. Ngoài ra, chi phí bảo trì cho một máy trong đơn hàng trên là 400 nghìn đồng. Giả sử hệ thống máy của công ty làm việc với công suất như nhau.

a) Gọi $x$ là số lượng máy công ty sử dụng cho đơn hàng trên (điều kiện $x \in {\mathbb{N}^*}$). Biểu diễn theo $x$ các đại lượng sau: số sản phẩm của công ty làm được trong một giờ và tổng số giờ công ty làm xong đơn hàng.

b) Công ty dự kiến tổng chi phí nhân công và bảo trì máy thực hiện đơn hàng là 11 920 nghìn đồng. Hỏi công ty phải sử dụng bao nhiêu máy để thực hiện xong đơn hàng trên?

(3,0 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, đường kính $AB$ cố định. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( O \right)$ ($M$ khác $A$ và $B$). Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $\left( O \right)$ cắt các tiếp tuyến tại $A$, tại $B$ của đường tròn $\left( O \right)$ lần lượt tại $C$ và $D$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $A,\,C,\,M,\,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng $BC$ cắt $OD,\,OM$ lần lượt tại $K,\,N$. Đường thẳng $OC$ cắt $AN$ tại $H$. Hai đường thẳng $AC$ và $OD$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh rằng $\frac{{HN}}{{HA}} = \frac{{ON}}{{OA}}$ và $EH$ vuông góc với $CK.$

c) Đường thẳng $EH$ cắt $AB,\,BC$ lần lượt tại $T,\,S.$ Tính độ dài $AM$ theo $R$ khi diện tích tam giác $BST$ đạt giá trị lớn nhất.