Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 05

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $f\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x}$. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi ${S_1};{S_2}$ là diện tích của hình phẳng tương ứng như trong hình vẽ. Biết ${S_1} = 4$ và ${S_2} = \frac{4}{3}$. Tính $\int\limits_1^6 {f\left( x \right)dx}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Một chiếc xe đang chuyển động đều với tốc độ ${v_0} = 15{\rm{m/s}}$ thì gặp chướng ngại vật rồi phanh gấp với gia tốc không đổi là $a = - 3{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$. Kí hiệu $v\left( t \right)$ là tốc độ của xe, $a\left( t \right)$ là gia tốc của xe, $s\left( t \right)$ là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm $t$ giây kể từ lúc phanh xe.

Gọi $\left( H \right)$ là hình giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt x ,y = 2 - x$ và trục hoành. Kí hiệu diện tích hình $\left( H \right)$ là ${S_1}$ và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 - x,y = \sqrt x$ và trục $Oy$ là ${S_2}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 1$ là $a{x^3} + b{x^2} + cx + d$. Tính tổng $a + b + c$.

_____

Cho biết $\int {\frac{{4x + 1}}{{2x + 3}}dx} = ax - \frac{b}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$ với $x \in \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)$ ($a;b$ là các số nguyên dương). Tính $2a - b$.

_____

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h\left( t \right)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt$ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là $150{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu ${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

_____

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn ${x^2} + {y^2} = 16$, cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ ta được thiết diện là tam giác đều. Khi đó thể tích của vật thể có dạng $\frac{{a\sqrt 3 }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b$.

_____

Cho điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x - 2y + 2z + 2 = 0$. Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và cách $A$ một khoảng bằng 1 có dạng $\left( \alpha \right):x - by + cz + d = 0$. Khi đó $S = 3b - c + d$?

_____

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

_____